フロベニウスマトリックス（行列）ノルムの定義
話題
About: マトリックス（行列）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムを知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フロベニウスマトリックス（行列）ノルムの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( M (F, m \times n)\): \(= \text{ 当該 } m \times n F \text{ マトリックス（行列）たちスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）ベクトルたちスペース（空間）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(*\Vert \bullet \Vert_F\): \(: M (F, m \times n) \to \mathbb{R}, M \mapsto \sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., m\}, l \in \{1, ..., n\}} \vert M^j_l \vert^2}\)
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コンディションたち:
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2: 注
それは明らかにあるノルムである、なぜなら、それは、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）またはコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）\(F^{m n}\)（それへ、\(M (F, m \times n)\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である）上のユークリディアンノルムまたはコンプレックス（複素）ユークリディアンノルムによってインデュースト（誘導された）ものである。
ファイナイト（有限）ベクトルたちスペース（空間）のためのノルムたちの等価性定理たち（(任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題および任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題）によって、任意のファイナイト（有限）ディメンション（次元）マトリックス（行列）ノルム)によって、任意のファイナイト（有限）ディメンション（次元）マトリックス（行列）ノルム\(\Vert \bullet \Vert\)に対して、\(r_1 \Vert M \Vert_F \le \Vert M \Vert \le r_2 \Vert M \Vert_F\)、何らかの正数たち\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、それが、\(\Vert M \Vert\)を評価するために使うことができる、ここで、\(r_1, r_2\)が厳密に何であるかは多くの場合、問題ではない。
