ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意の同一リング（環）上方の任意のモジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものから任意のモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）から任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中への任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
-
読者は、
任意のノルムたちによってインデュースト（誘導された）任意のベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間の任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、という命題 を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( M (F, m \times n)\): \(= \text{ } m \times n F \text{ マトリックス（行列）たちスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）ベクトルたちスペース（空間）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付き } n \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ 列ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付き } m \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ 列ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*\Vert \bullet \Vert\): \(: M (F, m \times n) \to \mathbb{R}, M \mapsto Sup (\{\Vert M v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\})\)
//
2: 注
本定義は\(V_1, V_2\)のノルムたちに依存するので、対象となるノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちを指定することなく本意味においてマトリックス（行列）ノルムについて語ることは意味がない。
\(\Vert \bullet \Vert\)は本当に\(\mathbb{R}\)の中へのものである、任意の同一リング（環）上方の任意のモジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものから任意のモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）から任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中への任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題、任意のノルムたちによってインデュースト（誘導された）任意のベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間の任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、という命題によって。
\(\Vert \bullet \Vert\)は本当にノルムであることを見よう。
\(M_1, M_2 \in M (F, m \times n)\)を任意のものとしよう。
1) \(0 \le \Vert M_1 \Vert\)で、当該等号は、もしも、\(M_1 = 0\)である場合、そしてその場合に限って成立する: \(0 \le Sup (\{\Vert M_1 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\})\); もしも、\(M_1 = 0\)である場合、\(Sup (\{\Vert M_1 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) = Sup (\{\Vert 0 \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) = Sup (\{0\}) = 0\); もしも、\(Sup (\{\Vert M_1 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) = 0\)である場合、\(\Vert M_1 v \Vert = 0\)、各\(v\)に対して、したがって、\(M_1 v = 0\)、各\(v\)に対して、しかし、\(v = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)^t\)、ここで、\(1\)は\(j\)-番目コンポーネント、と取ることによって、\(M_1 v\)は\(M_1\)の\(j\)-番目列である、したがって、\(M_1\)の\(j\)-番目列は\(0\)である、したがって、\(M_1\)の全ての列たちは\(0\)である、したがって、\(M_1 = 0\)。
2) \(\Vert r M_1 \Vert = \vert r \vert \Vert M_1 \Vert\): \(\Vert r M_1 \Vert = Sup (\{\Vert r M_1 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) = Sup (\{\vert r \vert \Vert M_1 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) = \vert r \vert Sup (\{\Vert M_1 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) = \vert r \vert \Vert M_1 \Vert\)。
3) \(\Vert M_1 + M_2 \Vert \le \Vert M_1 \Vert + \Vert M_2 \Vert\): \(\Vert M_1 + M_2\Vert = Sup (\{\Vert (M_1 + M_2) v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) = Sup (\{\Vert M_1 v + M_2 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) \le Sup (\{(\Vert M_1 v \Vert + \Vert M_2 v \Vert) / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) = Sup (\{(\Vert M_1 v \Vert / \Vert v \Vert + \Vert M_2 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\}) \le Sup (\{\Vert M_1 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\})\}) + Sup (\{\Vert M_2 v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1 \setminus \{0\}\})\)、任意のパーシャリーオーダードリング（半順序環）、任意のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちで任意の同一インデックスセット（集合）を持つものたち、当該サブセット（部分集合）たちの合計としてのサブセット（部分集合）で同じインデックスセット（集合）を持つものに対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちが存在する場合、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計は当該サブセット（部分集合）のあるアッパーバウンド（上限）であり、もしも、その上に当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちが存在する場合、当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計は当該サブセット（部分集合）のあるローワーバウンド（下限）であり、もしも、その上に当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計に等しいかそれより大きいという命題によって、\(= \Vert M_1 \Vert + \Vert M_2 \Vert\)。
あるマトリックス（行列）に対して、当該ノルムが厳密に何であるかは明らかでないが、任意のファイナイト（有限）ディメンション（次元）マトリックス（行列）\(M\)に対して、ファイナイト（有限）ベクトルたちスペース（空間）のためのノルムたちの等価性定理（任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題または任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題）によって、\(r_1 \Vert M \Vert_F \le \Vert M \Vert \le r_2 \Vert M \Vert_F\)、何らかの正数たち\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、ここで、\(\Vert \bullet \Vert_F\)はフロベニウスマトリックス（行列）ノルムを表わす、そして、\(\Vert M v \Vert \le \Vert M \Vert \Vert v \Vert \le r_2 \Vert M \Vert_F \Vert v \Vert\)、それが、多くの場合たちにとって十分である、\(r_2\)が知られていない時でも。
