ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義.
- 読者は、マトリックス（行列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のノルム付きリアル（実）またはコンプレックス（複素数）ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、\(V_1\)から\(V_2\)の中への任意のリニア（線形）マップ（写像）の代表としての任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）\(M\)に対して、\(sup \{\Vert M v \Vert / \Vert v \Vert \vert v \in V_1, \Vert v \Vert \neq 0\}\)、\(\Vert M \Vert\)と表記される
2: 注
本定義は\(V_1, V_2\)のノルムたちに依存するので、対象となるノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちを指定することなく本意味においてマトリックス（行列）ノルムについて語ることは意味がない。
あるマトリックス（行列）に対して、当該ノルムが具体的に何であるかは明確でないが、任意のファイナイト（有限）ディメンション（次元）マトリックス（行列）\(M\)に対して、ファイナイト（有限）ベクトルたちスペース（空間）のためのノルムたちの等価性定理によって、何らかの正数たち\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\(r_1 \Vert M \Vert_F \le \Vert M \Vert \le r_2 \Vert M \Vert_F\)、ここで、\(\Vert \bullet \Vert_F\)はフロベニウスノルムを表わす、そして、\(\Vert M v \Vert \le \Vert M \Vert \Vert v \Vert \le r_2 \Vert M \Vert_F \Vert v \Vert\)、それが、多くの場合たちにとって十分である、\(r_2\)が知られていなくとも。特に、\(\Vert M \Vert\)は常にファイナイト（有限）である。
