461: ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルム

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ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義.
• 読者は、マトリックス（行列）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のノルム付きリアル（実）またはコンプレックス（複素数）ベクトルたちスペース（空間）たち$V_1,V_2$、$V_1$から$V_2$の中への任意のリニア（線形）マップ（写像）の代表としての任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）$M$に対して、$sup\{\Vert Mv\Vert /\Vert v\Vert |v\in V_1,\Vert v\Vert \ne 0\}$、$\Vert M\Vert$と表記される

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2: 注

本定義は$V_1,V_2$のノルムたちに依存するので、対象となるノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちを指定することなく本意味においてマトリックス（行列）ノルムについて語ることは意味がない。

あるマトリックス（行列）に対して、当該ノルムが具体的に何であるかは明確でないが、任意のファイナイト（有限）ディメンション（次元）マトリックス（行列）$M$に対して、ファイナイト（有限）ベクトルたちスペース（空間）のためのノルムたちの等価性定理によって、何らかの正数たち$r_1,r_2\in \mathbb{R}$に対して、$r_1\Vert M{\Vert }_F\le \Vert M\Vert \le r_2\Vert M{\Vert }_F$、ここで、$\Vert \bullet {\Vert }_F$はフロベニウスノルムを表わす、そして、$\Vert Mv\Vert \le \Vert M\Vert \Vert v\Vert \le r_2\Vert M{\Vert }_F\Vert v\Vert$、それが、多くの場合たちにとって十分である、$r_2$が知られていなくとも。特に、$\Vert M\Vert$は常にファイナイト（有限）である。

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参考資料

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