別々のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち上の2ポイントたちはパスコネクテッド（連結された）でないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性の定義を知っている。
- 読者は、任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）について、当該ドメイン（定義域）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコドメイン（余域）上でコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）はあるコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、複数のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちを持つ任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の別々のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち上の任意の2ポイントたちはパスコネクテッド（連結された）でないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)で複数のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち\(\{S_\alpha\}\)を持つものに対して、任意の2ポイントたち\(p_1 \in S_{\alpha'}\)および\(p_2 \in S_{\alpha''}\)、ここで、\(\alpha' \neq \alpha''\)、は\(T\)上でパスコネクテッド（連結された）でない。
2: 証明
\(p_1\)と\(p_2\)は\(T\)上でパスコネクテッド（連結された）であったと仮定しよう。以下を満たすあるパス\(\lambda: I \to T\)、つまり、\(\lambda (0) = p_1\)および\(\lambda (1) = p_2\)、があることになる、任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題によって。\(I\)はコネクテッド（連結された）であり、\(\lambda (I)\)は\(T\)上でコネクテッド（連結された）であることになる、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）について、当該ドメイン（定義域）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコドメイン（余域）上でコネクテッド（連結された）であるという命題によって。\(\lambda (I)\)はどの1つのコネクテッド（連結された）コンポーネントにも包含されていないことになるので、\(\lambda (I)\)は\(T\)上でコネクテッド（連結された）でないことになる、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）はあるコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されているという命題によって、矛盾。したがって、\(p_1\)と\(p_2\)は\(T\)上でパスコネクテッド（連結された）でない。
