463: 別々のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち上の2ポイントたちはパスコネクテッド（連結された）でない

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別々のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち上の2ポイントたちはパスコネクテッド（連結された）でないことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
• 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性の定義を知っている。
• 読者は、任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）について、当該ドメイン（定義域）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコドメイン（余域）上でコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）はあるコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されているという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、複数のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちを持つ任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の別々のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち上の任意の2ポイントたちはパスコネクテッド（連結された）でないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$で複数のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち$\{S_{\alpha }\}$を持つものに対して、任意の2ポイントたち$p_1\in S_{{\alpha }^{\prime }}$および$p_2\in S_{{\alpha }^{″}}$、ここで、${\alpha }^{\prime }\ne {\alpha }^{″}$、は$T$上でパスコネクテッド（連結された）でない。

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2: 証明

$p_1$と$p_2$は$T$上でパスコネクテッド（連結された）であったと仮定しよう。以下を満たすあるパス$\lambda :I\to T$、つまり、$\lambda (0)=p_1$および$\lambda (1)=p_2$、があることになる、任意の2ポイントたちは任意のトポロジカルスペース（空間）上でパスコネクテッド（連結された）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）上に当該2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限ってという命題によって。$I$はコネクテッド（連結された）であり、$\lambda (I)$は$T$上でコネクテッド（連結された）であることになる、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）について、当該ドメイン（定義域）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコドメイン（余域）上でコネクテッド（連結された）であるという命題によって。$\lambda (I)$はどの1つのコネクテッド（連結された）コンポーネントにも包含されていないことになるので、$\lambda (I)$は$T$上でコネクテッド（連結された）でないことになる、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）はあるコネクテッド（連結された）コンポーネント内に包含されているという命題によって、矛盾。したがって、$p_1$と$p_2$は$T$上でパスコネクテッド（連結された）でない。

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参考資料

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