\(C^\infty\)カーブに沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の\(C^\infty\)カーブに対して、当該カーブに沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意のオープンインターバル（開区間）\(I \subseteq \mathbb{R}\)、任意の\(C^\infty\)カーブ\(c: I \to M\)に対して、\(c\)に沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）\(V: I \to c (I) \to TM\), \(i \mapsto c' (i)\)は\(C^\infty\)である。
2: 証明
任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f: M \to \mathbb{R}\)に対して、\(V (i) f = c' (i) f = \frac{d f (c (i))}{d i}\)、それは、\(C^\infty\)、なぜなら、\(f (c (i))\)は\(C^\infty\)マップ（写像）たちのコンポジション（合成）である。\(\frac{d f (c (i))}{d i}\)は実のところ\((V f) \circ c\)である。したがって、\(V\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の\(C^\infty\)カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
