465: C∞カーブに沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）はC∞である

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$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、カーブに沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
• 読者は、カーブのベロシティーの定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに対して、当該カーブに沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$、任意のオープンインターバル（開区間）$I\subseteq \mathbb{R}$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ$c:I\to M$に対して、$c$に沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）$V:I\to c(I)\to TM$, $i\mapsto c^{\prime }(i)$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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2: 証明

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f:M\to \mathbb{R}$に対して、$V(i)f=c^{\prime }(i)f=\frac{df(c(i))}{di}$、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$、なぜなら、$f(c(i))$は$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）たちのコンポジション（合成）である。$\frac{df(c(i))}{di}$は実のところ$(Vf)\circ c$である。したがって、$V$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

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参考資料

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