\(C^\infty\)カーブに沿ったベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の\(C^\infty\)カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意のオープンインターバル（開区間）\(I \subseteq \mathbb{R}\)、ここで、\(I\)にはカノニカル（ 自然な）マニフォールド（多様体）構造が与えられる、任意の\(C^\infty\)カーブ\(c: I \to M\)に対して、\(c\)に沿った任意のベクトルたちフィールド（場）\(V: I \to c (I) \to TM\)は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f: M \to \mathbb{R}\)に対して、\((V f) \circ c\)がマップ（写像）\(I \to \mathbb{R}\)として\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\((V f) \circ c\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。
任意のポイント\(i_0 \in I\)に対して、\(c (i_0)\)の周りに.あるチャート\((U'_{c (i_0)} \subseteq M, \phi'_{c (i_0)}: p \mapsto (x^1, x^2, ..., x^n))\)がある。\(x^k\)は\(U'_{c (i_0)}\)上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）であり、\(M\)上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f_k\)でより小さいかもしれないオープンネイバーフッド（開近傍）上で\(x^k\)に等しいものが存在する、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題によって。より小さいかもしれないチャート\((U_{c (i_0)} \subseteq U'_{c (i_0)}, \phi_{c (i_0)} = \phi'_{c (i_0)}\vert_{U_{c (i_0)}})\)を取ろう。
以下を満たすあるチャート\((U_{i_0} \subseteq I, \phi_{i_0})\)、つまり、\(c (U_{i_0}) \subseteq U_{c (i_0)}\)、がある、なぜなら、\(c\)はコンティニュアス（連続）である。\(U_{i_0}\)の上方で、\(V (i) = V^j (i) \partial_j\)。\(V (i) f = V^j (i) \partial_j f\)。\(f\)を\(f_k\)と取ることができ、\(V (i) f_k = V^j (i) \partial_j x^k = V^k (i)\)、それは実のところ\((V f_k) \circ c\)に等しく、したがって、\(C^\infty\)である、仮定によって。\(V: I \to TM\)のコンポーネントたちファンクション（関数）は\(i \mapsto (c^1 (i), c^2 (i), ..., c^n (i), V^1 (i), V^2 (i), ..., V^n (i))\)であり、それは\(C^\infty\)であるから、当該マップ（写像）は\(C^\infty\)である。
当該マップ（写像）\(V: I \to TM\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。
任意のポイント\(i_0 \in I\)に対して、\(c (i_0)\)の周りのあるチャート\((U_{c (i_0)} \subseteq M, \phi_{c (i_0)}: p \mapsto (x^1, x^2, ..., x^n))\)および\(i_0\)の周りにあるチャート\((U_{i_0} \subseteq I, \phi_{i_0})\)があり、\(V (i) = V^j (i) \partial_j\)、ここで、\(V^j (i)\)は\(C^\infty\)。任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f: M \to \mathbb{R}\)に対して、\(U_{i_0}\)上方で、\(V (i) f = V^j (i) \partial_j f\)、ここで、\(\partial_j f\)は\(M\)上で\(C^\infty\)ファンクション（関数）、したがって、\((V f) \circ c\)は\(I\)上方で\(C^\infty\)ファンクション（関数）である。
