464: C∞カーブに沿ったベクトルたちフィールド（場）はC∞である、もしも、任意のC∞ファンクション（関数）へのオペレーション結果がC∞である場合、そしてその場合に限って

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$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに沿ったベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、全体上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題を認めている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のインターバル（区間）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$\mathbb{R}$: $=\text{ 当該ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
$J$: $=(t_1,t_2),[t_1,t_2],(t_1,t_2],[t_1,t_2)\text{ のいずれか }\subseteq \mathbb{R}$で以下を満たすもの、つまり、$t_1<t_2$、$\mathbb{R}$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、として
$\gamma$: $:J\to M$, $\in \{\text{ 全てのカーブたち }\}\cap \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$V$: $:J\to \gamma (J)\to TM$, $\in \{\gamma \text{ に沿った全てのベクトルたちフィールド（場）たち }\}$


ステートメント（言明）たち:
$V\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$⟺$
$\mathrm{\forall }f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)((Vf)\circ \gamma :J\to \mathbb{R}\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\})$

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $(Vf)\circ \gamma$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定し、$V$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る、ある適切なチャートたちに関するそのコンポーネントたちファンクション（関数）を見ることによって; ステップ2: $V$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定し、$(Vf)\circ \gamma$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る、それをある適切なチャートたちに関して計算することによって。

ステップ1:

$(Vf)\circ \gamma$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定しよう。

任意のポイント$j_0\in J$に対して、$\gamma (j_0)$の周りにあるチャート$(U_{\gamma (j_0)}^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_{\gamma (j_0)}^{\prime }:p\mapsto (x^1,x^2,...,x^n))$がある。

$x^k$は$U_{\gamma (j_0)}^{\prime }$上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）であり、$M$上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f_k$で$x^k$に等しいものがある、あるより小さいかもしれないオープンネイバーフッド（開近傍）上において、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、全体上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題によって。以下を満たすより小さいかもしれないチャート$(U_{\gamma (j_0)}\subseteq M,{\varphi }_{\gamma (j_0)}={\varphi }_{\gamma (j_0)}^{\prime }{|}_{U_{\gamma (j_0)}})$、つまり、$U_{\gamma (j_0)}\subseteq U_{\gamma (j_0)}^{\prime }$、を取ろう。

以下を満たすあるチャート$(U_{j_0}\subseteq J,i{d}_{j_0})$、つまり、$\gamma (U_{j_0})\subseteq U_{\gamma (j_0)}$、がある、なぜなら、$\gamma$はコンティニュアス（連続）である。

$U_{j_0}$上方にて、$V(j)=V^l(j)\partial /\partial x^l$。

$V(j)f_k=V^l(j)\partial /\partial x^l{f}_k=V^l(j)\partial /\partial x^l{x}^k=V^l(j){\delta }_l^k=V^k(j)$、それは実のところ$(V{f}_k)\circ \gamma {|}_{U_{j_0}}$に等しい、それは$C^{\mathrm{\infty }}$である、仮定によって: バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題。

インデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_{\gamma (j_0)})\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_{\gamma (j_0)}})$がある。

$V:J\to TM$の、$(U_{j_0}\subseteq J,i{d}_{j_0})$および$({\pi }^{-1}(U_{\gamma (j_0)})\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_{\gamma (j_0)}})$に関するコンポーネントたちファンクション（関数）は$:U_{j_0}\to {\mathbb{R}}^n\times {\varphi }_{\gamma (j_0)}(U_{\gamma (j_0)}),j\mapsto (V^1(j),...,V^n(j),{\gamma }^1(j),...,{\gamma }^n(j))$である、それは$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$V^k$は$C^{\mathrm{\infty }}$であり、$\gamma$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

したがって、$V$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ2:

マップ（写像）$V:J\to TM$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定しよう。

任意のポイント$j_0\in J$に対して、$\gamma (j_0)$の周りのあるチャート$(U_{\gamma (j_0)}\subseteq M,{\varphi }_{\gamma (j_0)}:p\mapsto (x^1,x^2,...,x^n))$および$j_0$の周りの以下を満たすあるチャート$(U_{j_0}\subseteq J,i{d}_{j_0})$、つまり、$\gamma (U_{j_0})\subseteq U_{\gamma (j_0)}$、がある、なぜなら、$\gamma$はコンティニュアス（連続）である。

インデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_{\gamma (j_0)})\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_{\gamma (j_0)}})$がある。

$V:J\to TM$の、$(U_{j_0}\subseteq J,i{d}_{j_0})$および$({\pi }^{-1}(U_{\gamma (j_0)})\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_{\gamma (j_0)}})$に関するコンポーネントたちファンクション（関数）は$:U_{j_0}\to {\mathbb{R}}^n\times {\varphi }_{\gamma (j_0)}(U_{\gamma (j_0)}),j\mapsto (V^1(j),...,V^n(j),{\gamma }^1(j),...,{\gamma }^n(j))$である、それは$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$V$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、したがって、$V^l(j)$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$V(j)=V^l(j)\partial /\partial x^l$。

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f:M\to \mathbb{R}$に対して、$U_{j_0}$上方にて$V(j)f=V^l(j)\partial /\partial x^{l}f$、ここで、$\partial /\partial x^{l}f$は$U_{\gamma (j_0)}$上で$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）である、任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、したがって、$(Vf)\circ \gamma {|}_{U_{j_0}}$は$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）である。

$(Vf)\circ \gamma$は、$J$上の各ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上で$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、$(Vf)\circ \gamma$は$J$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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