\(C^\infty\)カーブに沿ったベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)カーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題を認めている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
-
読者は、
任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題 を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のインターバル（区間）上方の任意の\(C^\infty\)カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\(J\): \(= (t_1, t_2), [t_1, t_2], (t_1, t_2], [t_1, t_2) \text{ のいずれか } \subseteq \mathbb{R}\)で以下を満たすもの、つまり、\(t_1 \lt t_2\)、\(\mathbb{R}\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、として
\(\gamma\): \(: J \to M\), \(\in \{\text{ 全てのカーブたち }\} \cap \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(V\): \(: J \to \gamma (J) \to TM\), \(\in \{\gamma \text{ に沿った全てのベクトルたちフィールド（場）たち }\}\)
ステートメント（言明）たち:
\(V \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall f \in C^\infty (M) ((V f) \circ \gamma: J \to \mathbb{R} \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\} )\)
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \((V f) \circ \gamma\)は\(C^\infty\)であると仮定し、\(V\)は\(C^\infty\)であることを見る、ある適切なチャートたちに関するそのコンポーネントたちファンクション（関数）を見ることによって; ステップ2: \(V\)は\(C^\infty\)であると仮定し、\((V f) \circ \gamma\)は\(C^\infty\)であることを見る、それをある適切なチャートたちに関して計算することによって。
ステップ1:
\((V f) \circ \gamma\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。
任意のポイント\(j_0 \in J\)に対して、\(\gamma (j_0)\)の周りにあるチャート\((U'_{\gamma (j_0)} \subseteq M, \phi'_{\gamma (j_0)}: p \mapsto (x^1, x^2, ..., x^n))\)がある。
\(x^k\)は\(U'_{\gamma (j_0)}\)上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）であり、\(M\)上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f_k\)で\(x^k\)に等しいものがある、あるより小さいかもしれないオープンネイバーフッド（開近傍）上において、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題によって。以下を満たすより小さいかもしれないチャート\((U_{\gamma (j_0)} \subseteq M, \phi_{\gamma (j_0)} = \phi'_{\gamma (j_0)}\vert_{U_{\gamma (j_0)}})\)、つまり、\(U_{\gamma (j_0)} \subseteq U'_{\gamma (j_0)}\)、を取ろう。
以下を満たすあるチャート\((U_{j_0} \subseteq J, id_{j_0})\)、つまり、\(\gamma (U_{j_0}) \subseteq U_{\gamma (j_0)}\)、がある、なぜなら、\(\gamma\)はコンティニュアス（連続）である。
\(U_{j_0}\)上方にて、\(V (j) = V^l (j) \partial / \partial x^l\)。
\(V (j) f_k = V^l (j) \partial / \partial x^l f_k = V^l (j) \partial / \partial x^l x^k = V^l (j) \delta^k_l = V^k (j)\)、それは実のところ\((V f_k) \circ \gamma \vert_{U_{j_0}}\)に等しい、それは\(C^\infty\)である、仮定によって: バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題。
インデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_{\gamma (j_0)}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{\gamma (j_0)}})\)がある。
\(V: J \to TM\)の、\((U_{j_0} \subseteq J, id_{j_0})\)および\((\pi^{-1} (U_{\gamma (j_0)}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{\gamma (j_0)}})\)に関するコンポーネントたちファンクション（関数）は\(: U_{j_0} \to \mathbb{R}^n \times \phi_{\gamma (j_0)} (U_{\gamma (j_0)}), j \mapsto (V^1 (j), ..., V^n (j), \gamma^1 (j), ..., \gamma^n (j))\)である、それは\(C^\infty\)である、なぜなら、\(V^k\)は\(C^\infty\)であり、\(\gamma\)は\(C^\infty\)である。
したがって、\(V\)は\(C^\infty\)である。
ステップ2:
マップ（写像）\(V: J \to TM\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。
任意のポイント\(j_0 \in J\)に対して、\(\gamma (j_0)\)の周りのあるチャート\((U_{\gamma (j_0)} \subseteq M, \phi_{\gamma (j_0)}: p \mapsto (x^1, x^2, ..., x^n))\)および\(j_0\)の周りの以下を満たすあるチャート\((U_{j_0} \subseteq J, id_{j_0})\)、つまり、\(\gamma (U_{j_0}) \subseteq U_{\gamma (j_0)}\)、がある、なぜなら、\(\gamma\)はコンティニュアス（連続）である。
インデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_{\gamma (j_0)}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{\gamma (j_0)}})\)がある。
\(V: J \to TM\)の、\((U_{j_0} \subseteq J, id_{j_0})\)および\((\pi^{-1} (U_{\gamma (j_0)}) \subseteq TM, \widetilde{\phi_{\gamma (j_0)}})\)に関するコンポーネントたちファンクション（関数）は\(: U_{j_0} \to \mathbb{R}^n \times \phi_{\gamma (j_0)} (U_{\gamma (j_0)}), j \mapsto (V^1 (j), ..., V^n (j), \gamma^1 (j), ..., \gamma^n (j))\)である、それは\(C^\infty\)である、なぜなら、\(V\)は\(C^\infty\)である、したがって、\(V^l (j)\)は\(C^\infty\)である。
\(V (j) = V^l (j) \partial / \partial x^l\)。
任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f: M \to \mathbb{R}\)に対して、\(U_{j_0}\)上方にて\(V (j) f = V^l (j) \partial / \partial x^l f\)、ここで、\(\partial / \partial x^l f\)は\(U_{\gamma (j_0)}\)上で\(C^\infty\)ファンクション（関数）である、
\((V f) \circ \gamma\)は、\(J\)上の各ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上で\(C^\infty\)であるから、\((V f) \circ \gamma\)は\(J\)上で\(C^\infty\)である。
