492: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはポイントにおいてC∞である

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

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話題

About: バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものは当該ポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq M_1,S_2\subseteq M_2$、任意のポイント$p\in S_1$に対して、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$で$p$においてローカルにディフェオモーフィックであるものは$p$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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2: 証明

$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq M_1$および$f(p)\in S_2$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq M_2$で、$f{|}_{U_p\cap S_1}:U_p\cap S_1\to U_{f(p)}\cap S_2$がディフェオモーフィズムであるものがある。

$f{|}_{U_p\cap S_1}$は$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、以下を満たすあるチャート$(U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime })$およびあるチャート$(U_{f(p)}^{\prime }\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)}^{\prime })$、つまり、$f{|}_{U_p\cap S_1}(U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}^{\prime }$および${\varphi }_{f(p)}^{\prime }\circ f{|}_{U_p\cap S_1}\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1)}:{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}^{\prime }(U_{f(p)}^{\prime })$は${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、がある。

$(U_p^{\prime }\cap U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap U_p})$もチャートであり、$f(U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1)=f{|}_{U_p\cap S_1}(U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}^{\prime }$および${\varphi }_{f(p)}^{\prime }\circ f\circ {{\varphi }_p^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap U_p}}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1)}:{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}^{\prime }(U_{f(p)}^{\prime })={\varphi }_{f(p)}^{\prime }\circ f{|}_{U_p\cap S_1}\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1)}$は${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

したがって、$f$は$p$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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3: 注

典型的には、$S_1=M_1$および$S_2=M_2$であり、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間の任意のマップ（写像）で$p$においてローカルにディフェオモーフィックなものは$p$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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