バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはポイントにおいて\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものは当該ポイントにおいて\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1 \subseteq M_1, S_2 \subseteq M_2\)、任意のポイント\(p \in S_1\)に対して、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)で\(p\)においてローカルにディフェオモーフィックであるものは\(p\)において\(C^\infty\)である。
2: 証明
\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq M_1\)および\(f (p) \in S_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq M_2\)で、\(f \vert_{U_p \cap S_1}: U_p \cap S_1 \to U_{f (p)} \cap S_2\)がディフェオモーフィズムであるものがある。
\(f \vert_{U_p \cap S_1}\)は\(C^\infty\)であるから、以下を満たすあるチャート\((U'_p \subseteq M_1, \phi'_p)\)およびあるチャート\((U'_{f (p)} \subseteq M_2, \phi'_{f (p)})\)、つまり、\(f \vert_{U_p \cap S_1} (U'_p \cap U_p \cap S_1) \subseteq U'_{f (p)}\)および\(\phi'_{f (p)} \circ f \vert_{U_p \cap S_1} \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap U_p \cap S_1)}: \phi'_p (U'_p \cap U_p \cap S_1) \to \phi'_{f (p)} (U'_{f (p)})\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C^\infty\)である、がある。
\((U'_p \cap U_p \subseteq M_1, \phi'_p \vert_{U'_p \cap U_p})\)もチャートであり、\(f (U'_p \cap U_p \cap S_1) = f \vert_{U_p \cap S_1} (U'_p \cap U_p \cap S_1) \subseteq U'_{f (p)}\)および\(\phi'_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p \vert_{U'_p \cap U_p}}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap U_p \cap S_1)}: \phi'_p (U'_p \cap U_p \cap S_1) \to \phi'_{f (p)} (U'_{f (p)}) = \phi'_{f (p)} \circ f \vert_{U_p \cap S_1} \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap U_p \cap S_1)}\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C^\infty\)である。
したがって、\(f\)は\(p\)において\(C^\infty\)である。
3: 注
典型的には、\(S_1 = M_1\)および\(S_2 = M_2\)であり、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間の任意のマップ（写像）で\(p\)においてローカルにディフェオモーフィックなものは\(p\)において\(C^\infty\)である。
