バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムであることの記述/証明
話題
About: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1 \subseteq M_1, S_2 \subseteq M_2\)に対して、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムである。
2: 証明
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）\(f^{-1}: S_2 \to S_1\)がある。
\(f\)は\(C^\infty\)である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものは当該ポイントにおいて\(C^\infty\)であるという命題によって。
各\(f (p) \in S_2\)に対して、以下を満たす\(p \in S_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq M_1\)および\(f (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq M_2\)、つまり、\(f \vert_{U_p \cap S_1}: U_p \cap S_1 \to U_{f (p)} \cap S_2\)はディフェオモーフィズムである、がある。それが意味するのは、以下を満たす\(f (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq M_2\)および\(p = f^{-1} (f (p)) \in S_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq M_1\)、つまり、\(f^{-1} \vert_{U_{f (p)} \cap S_2}: U_{f (p)} \cap S_2 \to U_p \cap S_1\)はディフェオモーフィズムである、があるということ、したがって、\(f^{-1}\)は各\(f (p)\)においてローカルにディフェオモーフィックであり、\(C^\infty\)である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものは当該ポイントにおいて\(C^\infty\)であるという命題によって。
したがって、\(f\)はディフェオモーフィズムである。
