493: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムである

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムであることの記述/証明

---

話題

About: バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものの定義を知っている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものは当該ポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムであるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq M_1,S_2\subseteq M_2$に対して、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムである。

---

2: 証明

$f$はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）$f^{-1}:S_2\to S_1$がある。

$f$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものは当該ポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

各$f(p)\in S_2$に対して、以下を満たす$p\in S_1$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq M_1$および$f(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq M_2$、つまり、$f{|}_{U_p\cap S_1}:U_p\cap S_1\to U_{f(p)}\cap S_2$はディフェオモーフィズムである、がある。それが意味するのは、以下を満たす$f(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq M_2$および$p=f^{-1}(f(p))\in S_1$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq M_1$、つまり、$f^{-1}{|}_{U_{f(p)}\cap S_2}:U_{f(p)}\cap S_2\to U_p\cap S_1$はディフェオモーフィズムである、があるということ、したがって、$f^{-1}$は各$f(p)$においてローカルにディフェオモーフィックであり、$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものは当該ポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

したがって、$f$はディフェオモーフィズムである。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>