レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上のカーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）のスーパーマニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）の下でのプッシュフォワードイメージ（像）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
- 読者は、レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の\(C^\infty\)カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）、任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の当該レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上\(C^\infty\)カーブに対して、当該カーブに沿った任意の当該レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の当該スーパーマニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）の下でのプッシュフォワードイメージ（像）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M'\)、任意のレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）\(M \subseteq M'\)、インクルージョン（封入）\(\iota: M \to M'\)、任意のオープンインターバル（開区間）\(I \subseteq \mathbb{R}\)、任意の\(C^\infty\)カーブ\(c: I \to M\)、\(c\)に沿った任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）\(V: I \to c (I) \to TM\)に対して、\(V\)の\(M'\)の中への\(\iota\)の下でのプッシュフォワード\(\iota_* V: I \to \iota \circ c (I) \to TM'\), \(t \mapsto \iota_* V (t)\)は\(C^\infty\)である、\(\iota \circ c\)に沿ったベクトルたちフィールド（場）として。
2: 注
通常の'プッシュフォワード'（ディファレンシャルとも呼ばれる）は\(T_pM\)を\(T_{\iota (p)}M\)の中へマップする; ここでの'プッシュフォワード'は\(V: I \to TM\)から\(\iota_* V: I \to TM'\)を構築している。
3: 証明
\(\iota \circ c\)は\(M'\)上の\(C^\infty\)カーブである、なぜなら、任意のポイント\(t_0 \in I\)に対して、あるアダプテッドチャート\((U'_{\iota \circ c (t_0)} \subseteq M', \phi'_{\iota \circ c (t_0)}): p \mapsto (x^1, ..., x^d, x^{d + 1}, ..., x^{d'})\)および対応するアダプティングチャート\((U_{c (t_0)} \subseteq M, \phi_{c (t_0)}: p \mapsto (x^1, x^2, ..., x^d)\)があり、\(\iota \circ c\)のコンポーネントたちファンクション（関数）は\((c^1 (t), c^2 (t), ..., c^d (t), 0, ..., 0)\)、ここで、\(c^j (t)\)は\(C^\infty\)、である。
任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f: M \to \mathbb{R}\)に対して、\((V (t) f) \circ c (t)\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の\(C^\infty\)カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f': M' \to \mathbb{R}\)に対して、\((\iota_* V) (t) f' = \iota_* V (t) f' = V (t) (f' \circ \iota)\)、したがって、\(((\iota_* V) (t) f') \circ \iota \circ c (t) = (V (t) (f' \circ \iota)) \circ c (t)\)、それは、\(C^\infty\)である、なぜなら、\(f' \circ \iota\)は\(M\)上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）である。したがって、\(\iota_* V\)は\(C^\infty\)である、\(\iota \circ c\)に沿ったベクトルたちフィールドとして、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の\(C^\infty\)カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
