505: レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上のカーブに沿ったC∞ベクトルたちフィールド（場）のスーパーマニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）の下でのプッシュフォワードイメージ（像）はC∞である

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レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上のカーブに沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）のスーパーマニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）の下でのプッシュフォワードイメージ（像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、カーブに沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
• 読者は、レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）、任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の当該レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに対して、当該カーブに沿った任意の当該レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の当該スーパーマニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）の下でのプッシュフォワードイメージ（像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M^{\prime }$、任意のレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）$M\subseteq M^{\prime }$、インクルージョン（封入）$\iota :M\to M^{\prime }$、任意のオープンインターバル（開区間）$I\subseteq \mathbb{R}$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ$c:I\to M$、$c$に沿った任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）$V:I\to c(I)\to TM$に対して、$V$の$M^{\prime }$の中への$\iota$の下でのプッシュフォワード${\iota }_{\ast }V:I\to \iota \circ c(I)\to T{M}^{\prime }$, $t\mapsto {\iota }_{\ast }V(t)$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、$\iota \circ c$に沿ったベクトルたちフィールド（場）として。

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2: 注

通常の'プッシュフォワード'（ディファレンシャルとも呼ばれる）は$T_{p}M$を$T_{\iota (p)}M$の中へマップする; ここでの'プッシュフォワード'は$V:I\to TM$から${\iota }_{\ast }V:I\to T{M}^{\prime }$を構築している。

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3: 証明

$\iota \circ c$は$M^{\prime }$上の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブである、なぜなら、任意のポイント$t_0\in I$に対して、あるアダプテッドチャート$(U_{\iota \circ c(t_0)}^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }_{\iota \circ c(t_0)}^{\prime }):p\mapsto (x^1,...,x^d,x^{d+1},...,x^{d^{\prime }})$および対応するアダプティングチャート$(U_{c(t_0)}\subseteq M,{\varphi }_{c(t_0)}:p\mapsto (x^1,x^2,...,x^d)$があり、$\iota \circ c$のコンポーネントたちファンクション（関数）は$(c^1(t),c^2(t),...,c^d(t),0,...,0)$、ここで、$c^j(t)$は$C^{\mathrm{\infty }}$、である。

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f:M\to \mathbb{R}$に対して、$(V(t)f)\circ c(t)$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f^{\prime }:M^{\prime }\to \mathbb{R}$に対して、$({\iota }_{\ast }V)(t)f^{\prime }={\iota }_{\ast }V(t)f^{\prime }=V(t)(f^{\prime }\circ \iota )$、したがって、$(({\iota }_{\ast }V)(t)f^{\prime })\circ \iota \circ c(t)=(V(t)(f^{\prime }\circ \iota ))\circ c(t)$、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$f^{\prime }\circ \iota$は$M$上方の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）である。したがって、${\iota }_{\ast }V$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、$\iota \circ c$に沿ったベクトルたちフィールドとして、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）および任意のオープンインターバル（開区間）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブに対して、当該カーブに沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、当該マニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

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参考資料

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