サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）は、それぞれが第1サブセット（部分集合）マイナスシーケンス（列）の部分的ユニオン（和集合）であるサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）（第1サブセット（部分集合））マイナスサブセット（部分集合）たちの任意のシーケンス（列）のユニオン（和集合）は、それぞれが第1サブセット（部分集合）マイナスシーケンス（列）の部分的ユニオン（和集合）であるサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S\)、任意のサブセット（部分集合）\(S_1 \subseteq S\)、サブセット（部分集合）たちの任意のシーケンス\(S_{2, 1}, S_{2, 2}, ...\)、ここで、\(S_{2, i} \subseteq S\)だが必ずしも\(S_{2, i} \subseteq S_1\)ではない、に対して、\(S_1 \setminus \cup_{i} S_{2, i} = \cap_j (S_1 \setminus \cup_{i = 1 \sim j} S_{2, i})\)。
2: 証明
任意の\(p \in S_1 \setminus \cup_{i} S_{2, i}\)に対して、\(p \in S_1\)および各\(i\)に対して\(p \notin S_{2, i}\)、各\(j\)に対して、\(p \in S_1 \setminus \cup_{i = 1 \sim j} S_{2, i}\)、したがって、\(p \in \cap_j (S_1 \setminus \cup_{i = 1 \sim j} S_{2, i})\)。
任意の\(p \in \cap_j (S_1 \setminus \cup_{i = 1 \sim j} S_{2, i})\)に対して、各\(j\)に対して\(p \in S_1 \setminus \cup_{i = 1 \sim j} S_{2, i}\)、\(p \in S_1\)および各\(i\)に対して\(p \notin S_{2, i}\)、したがって、\(p \in S_1 \setminus \cup_{i} S_{2, i}\)。
