2024年3月10日日曜日

503: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）

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C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義

話題


About: C∞マニフォールド（多様体）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
M: ∈{ 全ての C∞ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）（空かもしれない）付き、たち }
m: ∈M
∗TmM: ={m における全てのタンジェント（接）ベクトルたち }, ∈{ 全ての R ベクトルたちスペース（空間）たち }、下に指定されるオペレーションたちを持って
//

コンディションたち:
∀r∈R,∀v∈TmM,∀f∈Cm∞(M)((rv)f=r(vf))
∧
∀v1,v2∈TmM,∀f∈Cm∞(M)((v1+v2)f=v1f+v2f)
//

2: 注


TmMは本当にRベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。

第1に、当該オペレーションたちはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。

rvは本当にデリベーションであるか？

各r′∈Rに対して、(rv)(r′f)=r(v(r′f))=r(r′v(f))=(rr′)v(f)=(r′r)v(f)=r′(rv(f))=r′((rv)(f))、したがって、rvはR-リニア（線形）マップ（写像）である。

(rv)(ff′)=r(v(ff′))=r(v(f)f′+fv(f′))=rv(f)f′+rfv(f′)=(rv)(f)f′+f(rv)(f′)、したがって、rvはライプニッツルールを満たす。

したがって、rvはデリベーションである。

v1+v2は本当にデリベーションであるか？

各r′∈Rに対して、(v1+v2)(r′f)=v1(r′f)+v2(r′f)=r′v1(f)+r′v2(f)=r′(v1(f)+v2(f))=r′(v1+v2)(f)、したがって、v1+v2はR-リニア（線形）マップ（写像）である。

(v1+v2)(ff′)=v1(ff′)+v2(ff′)=v1(f)f′+fv1(f′)+v2(f)f′+fv2(f′)=(v1(f)+v2(f))f′+f(v1(f′)+v2(f′))=(v1+v2)(f)f′+f(v1+v2)(f′)、したがって、v1+v2はライプニッツルールを満たす。

したがって、v1+v2はデリベーションである。

1) 任意の要素たちv1,v2∈TmMに対して、v1+v2∈TmM（アディション（加法）の下で閉じていること）: それは上で見られた。

2) 任意の要素たちv1,v2∈TmMに対して、v1+v2=v2+v1（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性）: (v1+v2)(f)=v1(f)+v2(f)=v2(f)+v1(f)=(v2+v1)(f)。

3) 任意の要素たちv1,v2,v3∈TmMに対して、(v1+v2)+v3=v1+(v2+v3)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: ((v1+v2)+v3)(f)=(v1+v2)(f)+v3(f)=v1(f)+v2(f)+v3(f)=v1(f)+(v2(f)+v3(f))=v1(f)+(v2+v3)(f)=(v1+(v2+v3))(f)。

4) 以下を満たすある0要素0∈V、つまり、任意のv∈TmMに対して、v+0=v（0ベクトルの存在）: 各fを0へマップするマップ（写像）0は明らかにデリベーションである、したがって、0∈TmM、そして、(v+0)(f)=v(f)+0(f)=v(f)+0=v(f)。

5) 任意の要素v∈TmMに対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素v′∈TmM、つまり、v′+v=0、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: 各fを−v(f)へマップするマップ（写像）−vは明らかにデリベーションである、したがって、−v∈TmM、そして、(v′+v)(f)=(−v+v)(f)=−v(f)+v(f)=0=0(f)。

6) 任意の要素v∈TmMおよび任意のスカラーr∈Rに対して、 r.v∈TmM（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること: それは上で見られた。

7) 任意の要素v∈TmM、任意のスカラーたちr1,r2∈Rに対して、(r1+r2).v=r1.v+r2.v（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: ((r1+r2).v)(f)=(r1+r2)v(f)=r1v(f)+r2v(f)=(r1v)(f)+(r2v)(f)=(r1.v+r2.v)(f)。

8) 任意の要素たちv1,v2∈TmM、任意のスカラーr∈Rに対して、r.(v1+v2)=r.v1+r.v2（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: (r.(v1+v2))(f)=r(v1+v2)(f)=r(v1(f)+v2(f))=rv1(f)+rv2(f)=(rv1)(f)+(rv2)(f)=(r.v1+r.v2)(f)。

9) 任意の要素v∈TmM、任意のスカラーたちr1,r2∈Rに対して、(r1r2).v=r1.(r2.v)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: ((r1r2).v)(f)=(r1r2)v(f)=r1(r2v(f))=r1((r2v)(f))=(r1.(r2.v))(f)。

10) 任意の要素v∈TmMに対して、1.v=v（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: (1.v)(f)=1v(f)=v(f)。

したがって、TmMはRベクトルたちスペース（空間）である。

参考資料
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