\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、タンジェント（接）ベクトルの定義を知っている。
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）（空かもしれない）付き、たち }\}\)
\( m\): \(\in M\)
\(*T_mM\): \(= \{m \text{ における全てのタンジェント（接）ベクトルたち }\}\), \(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)、下に指定されるオペレーションたちを持って
//
コンディションたち:
\(\forall r \in \mathbb{R}, \forall v \in T_mM, \forall f \in C^\infty_m (M) ((r v) f = r (v f))\)
\(\land\)
\(\forall v_1, v_2 \in T_mM, \forall f \in C^\infty_m (M) ((v_1 + v_2) f = v_1 f + v_2 f)\)
//
2: 注
\(T_mM\)は本当に\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
第1に、当該オペレーションたちはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(r v\)は本当にデリベーションであるか？
各\(r' \in \mathbb{R}\)に対して、\((r v) (r' f) = r (v (r' f)) = r (r' v (f)) = (r r') v (f) = (r' r) v (f) = r' (r v (f)) = r' ((r v) (f))\)、したがって、\(r v\)は\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）マップ（写像）である。
\((r v) (f f') = r (v (f f')) = r (v (f) f' + f v (f')) = r v (f) f' + r f v (f') = (r v) (f) f' + f (r v) (f')\)、したがって、\(r v\)はライプニッツルールを満たす。
したがって、\(r v\)はデリベーションである。
\(v_1 + v_2\)は本当にデリベーションであるか？
各\(r' \in \mathbb{R}\)に対して、\((v_1 + v_2) (r' f) = v_1 (r' f) + v_2 (r' f) = r' v_1 (f) + r' v_2 (f) = r' (v_1 (f) + v_2 (f)) = r' (v_1 + v_2) (f)\)、したがって、\(v_1 + v_2\)は\(\mathbb{R}\)-リニア（線形）マップ（写像）である。
\((v_1 + v_2) (f f') = v_1 (f f') + v_2 (f f') = v_1 (f) f' + f v_1 (f') + v_2 (f) f' + f v_2 (f') = (v_1 (f) + v_2 (f)) f' + f (v_1 (f') + v_2 (f')) = (v_1 + v_2) (f) f' + f (v_1 + v_2) (f')\)、したがって、\(v_1 + v_2\)はライプニッツルールを満たす。
したがって、\(v_1 + v_2\)はデリベーションである。
1) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in T_mM\)に対して、\(v_1 + v_2 \in T_mM\)（アディション（加法）の下で閉じていること）: それは上で見られた。
2) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in T_mM\)に対して、\(v_1 + v_2 = v_2 + v_1\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性）: \((v_1 + v_2) (f) = v_1 (f) + v_2 (f) = v_2 (f) + v_1 (f) = (v_2 + v_1) (f)\)。
3) 任意の要素たち\(v_1, v_2, v_3 \in T_mM\)に対して、\((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(((v_1 + v_2) + v_3) (f) = (v_1 + v_2) (f) + v_3 (f) = v_1 (f) + v_2 (f) + v_3 (f) = v_1 (f) + (v_2 (f) + v_3 (f)) = v_1 (f) + (v_2 + v_3) (f) = (v_1 + (v_2 + v_3)) (f)\)。
4) 以下を満たすある0要素\(0 \in V\)、つまり、任意の\(v \in T_mM\)に対して、\(v + 0 = v\)（0ベクトルの存在）: 各\(f\)を\(0\)へマップするマップ（写像）\(0\)は明らかにデリベーションである、したがって、\(0 \in T_mM\)、そして、\((v + 0) (f) = v (f) + 0 (f) = v (f) + 0 = v (f)\)。
5) 任意の要素\(v \in T_mM\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(v' \in T_mM\)、つまり、\(v' + v = 0\)、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: 各\(f\)を\(- v (f)\)へマップするマップ（写像）\(- v\)は明らかにデリベーションである、したがって、\(- v \in T_mM\)、そして、\((v' + v) (f) = (- v + v) (f) = - v (f) + v (f) = 0 = 0 (f)\)。
6) 任意の要素\(v \in T_mM\)および任意のスカラー\(r \in \mathbb{R}\)に対して、 \(r . v \in T_mM\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること: それは上で見られた。
7) 任意の要素\(v \in T_mM\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(((r_1 + r_2) . v) (f) = (r_1 + r_2) v (f) = r_1 v (f) + r_2 v (f) = (r_1 v) (f) + (r_2 v) (f) = (r_1 . v + r_2 . v) (f)\)。
8) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in T_mM\)、任意のスカラー\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\(r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2\)（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \((r . (v_1 + v_2)) (f) = r (v_1 + v_2) (f) = r (v_1 (f) + v_2 (f)) = r v_1 (f) + r v_2 (f) = (r v_1) (f) + (r v_2) (f) = (r . v_1 + r . v_2) (f)\)。
9) 任意の要素\(v \in T_mM\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(((r_1 r_2) . v) (f) = (r_1 r_2) v (f) = r_1 (r_2 v (f)) = r_1 ((r_2 v) (f)) = (r_1 . (r_2 . v)) (f)\)。
10) 任意の要素\(v \in T_mM\)に対して、\(1 . v = v\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: \((1 . v) (f) = 1 v (f) = v (f)\)。
したがって、\(T_mM\)は\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）である。
