2024年4月21日日曜日

549: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）はリニア（線形）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）はリニア（線形）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
V1: ∈{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }
V2: ∈{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }
{p0,...,pn}: ⊆V1, ∈{V1 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）たち }
S: ={p0,...,pn} によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合） 
f: :S→V2, ∈{ 全てのアファインマップ（写像）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
f∈{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }; 特に、f(∑j=0∼ntjpj)=∑j=0∼ntjf(pj)、∑j=0∼ntj=1または∑j=0∼ntj=1∧0≤tjである時。
//

2: 自然言語記述


任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちV1,V2、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）{p0,...,pn}⊆V1、当該ベースポイントたちの当該セット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）S⊆V1に対して、任意のアファインマップ（写像）f:S→V2はリニア（線形）である。特に、f(∑j=0∼ntjpj)=∑j=0∼ntjf(pj)、∑j=0∼ntj=1または∑j=0∼ntj=1∧0≤tjである時。

3: 注


"リニア（線形）"と言っているものの、Sは一般的には本当にはベクトルたちスペース（空間）ではない。本命題が話しているのは、s1,...,sm∈Sおよびr1s1+...+rmsm∈Sである時はいつも、f(r1s1+...+rmsm)=r1f(s1)+...+rmf(sm)であるということについてである。

4: 証明


fは、当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）{p0′,...,pk′}⊆{p0,...,pn}でSをスパンする（張る）ものに基づいて定義されている。

s1,...,sm∈Sを任意のポイントたちであるとしよう。sl=∑j=0∼ktl′jpj′。r1,...,rm∈Rはr1s1+...+rmsm∈Sを満たす任意のものであるとしよう。

f(r1s1+...+rmsm)=f(r1∑j=0∼kt1′jpj′+...+rm∑j=0∼ktm′jpj′)=f(∑j=0∼k((r1t1′j+...+rmtm′j)pj′))=∑j=0∼k((r1t1′j+...+rmtm′j)f(pj′))=∑j=0∼k(r1t1′jf(pj′))+...+∑j=0∼k(rmtm′jf(pj′))=r1f(∑j=0∼k(t1′jpj′))+...+rmf(∑j=0∼k(tm′jpj′))=r1f(s1)+...+rmf(sm)。

∑j=0∼ntj=1または∑j=0∼ntj=1∧0≤tjである時、pj∈Sおよび∑j=0∼ntjpj∈Sであるので、f(∑j=0∼ntjpj)=∑j=0∼ntjf(pj)。したがって、fは{p0′,...,pk′}に基づいて定義されているが、期待される展開が成り立つ。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: