リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）はリニア（線形）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V_1\), \(\in \{V_1\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{p_0, ..., p_n\}\text{ によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合） }\)
\(f\): \(: S \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのアファインマップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\); 特に、\(f (\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j) = \sum_{j = 0 \sim n} t^j f (p_j)\)、\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1\)または\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\)である時。
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V_1\)、当該ベースポイントたちの当該セット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）\(S \subseteq V_1\)に対して、任意のアファインマップ（写像）\(f: S \to V_2\)はリニア（線形）である。特に、\(f (\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j) = \sum_{j = 0 \sim n} t^j f (p_j)\)、\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1\)または\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\)である時。
3: 注
"リニア（線形）"と言っているものの、\(S\)は一般的には本当にはベクトルたちスペース（空間）ではない。本命題が話しているのは、\(s_1, ..., s_m \in S\)および\(r_1 s_1 + ... + r_m s_m \in S\)である時はいつも、\(f (r_1 s_1 + ... + r_m s_m) = r_1 f (s_1) + ... + r_m f (s_m)\)であるということについてである。
4: 証明
\(f\)は、当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(\{p'_0, ..., p'_k\} \subseteq \{p_0, ..., p_n\}\)で\(S\)をスパンする（張る）ものに基づいて定義されている。
\(s_1, ..., s_m \in S\)を任意のポイントたちであるとしよう。\(s_l = \sum_{j = 0 \sim k} t'^j_l p'_j\)。\(r^1, ..., r^m \in \mathbb{R}\)は\(r^1 s_1 + ... + r^m s_m \in S\)を満たす任意のものであるとしよう。
\(f (r^1 s_1 + ... + r^m s_m) = f (r^1 \sum_{j = 0 \sim k} t'^j_1 p'_j + ... + r^m \sum_{j = 0 \sim k} t'^j_m p'_j) = f (\sum_{j = 0 \sim k} ((r^1 t'^j_1 + ... + r^m t'^j_m) p'_j)) = \sum_{j = 0 \sim k} ((r^1 t'^j_1 + ... + r^m t'^j_m) f (p'_j)) = \sum_{j = 0 \sim k} (r^1 t'^j_1 f (p'_j)) + ... + \sum_{j = 0 \sim k} (r^m t'^j_m f (p'_j)) = r^1 f (\sum_{j = 0 \sim k} (t'^j_1 p'_j)) + ... + r^m f (\sum_{j = 0 \sim k} (t'^j_m p'_j)) = r^1 f (s_1) + ... + r^m f (s_m)\)。
\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1\)または\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\)である時、\(p_j \in S\)および\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in S\)であるので、\(f (\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j) = \sum_{j = 0 \sim n} t^j f (p_j)\)。したがって、\(f\)は\(\{p'_0, ..., p'_k\}\)に基づいて定義されているが、期待される展開が成り立つ。
