サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）は必ずしもサージェクション（全射）ではないことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、サージェクション（全射）たちのあるファイナイト（有限）コンポジション（合成）は必ずしもサージェクション（全射）ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{S_1, ..., S_n\}\): \(S_j \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{S'_1, ..., S'_n\}\): \(S'_j \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: S_j \to S'_j\), \(\in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in \{1, ..., n - 1\} (S'_j \subseteq S_{j + 1})\)
\(\lnot \implies\)
\(f_n \circ ... \circ f_1: S_1 \to S'_n \in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(\{S_1, ..., S_n\}\)、任意のセット（集合）たち\(\{S'_1, ..., S'_n\}\)、以下を満たす任意のサージェクション（全射）たち\(\{f_1, ..., f_n\}\)、つまり、\(f_j: S_j \to S'_j\)、に対して、もしも、各\(j \in \{1, ..., n - 1\}\)に対して \(S'_j \subseteq S_{j + 1}\)である場合、\(f_n \circ ... \circ f_1: S_1 \to S'_n\)は必ずしもサージェクション（全射）ではない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(n = 2\)で\(S'_1 \subset S_2\)のケースで、ある反例を示す。
ステップ1:
ある反例を示せば十分である。
\(n = 2\)としよう。\(S_1 = \{1\}\)、\(S'_1 = \{2\}\)、\(S_2 = \{2, 3\}\)、\(S'_2 = \{4, 5\}\)、\(f_1: 1 \mapsto 2\)、\(f_2: 2 \mapsto 4, 3 \mapsto 5\)としよう。
\(f_2 \circ f_1\)はサージェクション（全射）でない、なぜなら、\(5\)は\(S_1\)の何らの要素からもマップされない。
4: 注
ひっかけだと思われるかもしれないが、コンポジション（合成）は、第1マップ（写像）のコドメイン（余域）が第2マップ（写像）のドメイン（定義域）に等しくなくても可能であることを思い出すべきだ。
インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題と比較のこと、それは、第1マップのコドメイン（余域）が第2マップ（写像）のドメイン（定義域）に等しくない時でも成立する。
サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題と比較のこと。
