サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{S_1, ..., S_n\}\): \(S_j \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{S'_1, ..., S'_n\}\): \(S'_j \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: S_j \to S'_j\), \(\in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in \{1, ..., n - 1\} (S'_j = S_{j + 1})\)
\(\implies\)
\(f_n \circ ... \circ f_1: S_1 \to S'_n \in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(\{S_1, ..., S_n\}\)、任意のセット（集合）たち\(\{S'_1, ..., S'_n\}\)、以下を満たす任意のサージェクション（全射）たち\(\{f_1, ..., f_n\}\)、つまり、\(f_j: S_j \to S'_j\)、に対して、もしも、各\(j \in \{1, ..., n - 1\}\)に対して\(S'_j = S_{j + 1}\)である場合、\(f_n \circ ... \circ f_1: S_1 \to S'_n\)はサージェクション（全射）である。
3: 証明
全体戦略: それを\(n\)に関してインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それを\(n = 1\)ケースに対して証明する; ステップ2: それを\(n = 2\)ケースに対して証明する; ステップ3: それを\(n = 1, ..., n' - 1\)ケースたちに対して仮定し、それを\(n = n'\)ケースに対して証明する。
ステップ1:
\(n = 1\)であると仮定しよう。
\(f_1\)はサージェクション（全射）である。
ステップ2:
\(n = 2\)であると仮定しよう。
各\(p \in S'_2\)に対して、以下を満たすある\(p' \in S_2\)、つまり、\(f_2 (p') = p\)、がある、なぜなら、\(f_2\)はサージェクション（全射）である。\(p' \in S'_1 = S_2\)であるから、以下を満たすある\(p'' \in S_1\)、つまり、\(f_1 (p'') = p'\)、がある、なぜなら、\(f_1\)はサージェクション（全射）である。したがって、\(f_2 \circ f_1 (p'') = p\)。したがって、\(f_2 \circ f_1\)はサージェクション（全射）である。
ステップ3:
本命題は\(n = 1, ..., n' - 1\)に対して成立すると仮定しよう。
\(n = n'\)と仮定しよう。
\(f_{n'} \circ ... \circ f_1 = f_{n'} (f_{n' - 1} \circ ... \circ f_1)\)。\(f_{n' - 1} \circ ... \circ f_1\)はサージェクション（全射）である、インダクション（帰納）仮定によって。\(f_{n'} (f_{n' - 1} \circ ... \circ f_1)\)はサージェクション（全射）である、\(n = 2\)ケースに対する本命題によって。
4: 注
ステップ2を本当に私たちは必要とするのか？そう思う: ステップ2無しに\(f_{n'} \circ (f_{n' - 1} \circ ... \circ f_1)\)はサージェクション（全射）であると、本命題が\(n = 1, ..., n' - 1\)ケースたちに対して成立することのみを根拠に主張する誘惑にかられるかもしれないが、\(n' = 2\)である時、仮定されているのは、\(n = 1 = n' - 1\)ケースだけだ。
サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）は必ずしもサージェクション（全射）ではないという命題と比較のこと。
