2024年7月21日日曜日

692: サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合

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サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、ことの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
{S1,...,Sn}: Sj∈{ 全てのセット（集合）たち }
{S1′,...,Sn′}: Sj′∈{ 全てのセット（集合）たち }
{f1,...,fn}: fj:Sj→Sj′, ∈{ 全てのサージェクション（全射）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∀j∈{1,...,n−1}(Sj′=Sj+1)
⟹
fn∘...∘f1:S1→Sn′∈{ 全てのサージェクション（全射）たち }
//

2: 自然言語記述


任意のセット（集合）たち{S1,...,Sn}、任意のセット（集合）たち{S1′,...,Sn′}、以下を満たす任意のサージェクション（全射）たち{f1,...,fn}、つまり、fj:Sj→Sj′、に対して、もしも、各j∈{1,...,n−1}に対してSj′=Sj+1である場合、fn∘...∘f1:S1→Sn′はサージェクション（全射）である。

3: 証明


全体戦略: それをnに関してインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それをn=1ケースに対して証明する; ステップ2: それをn=2ケースに対して証明する; ステップ3: それをn=1,...,n′−1ケースたちに対して仮定し、それをn=n′ケースに対して証明する。

ステップ1:

n=1であると仮定しよう。

f1はサージェクション（全射）である。

ステップ2:

n=2であると仮定しよう。

各p∈S2′に対して、以下を満たすあるp′∈S2、つまり、f2(p′)=p、がある、なぜなら、f2はサージェクション（全射）である。p′∈S1′=S2であるから、以下を満たすあるp″∈S1、つまり、f1(p″)=p′、がある、なぜなら、f1はサージェクション（全射）である。したがって、f2∘f1(p″)=p。したがって、f2∘f1はサージェクション（全射）である。

ステップ3:

本命題はn=1,...,n′−1に対して成立すると仮定しよう。

n=n′と仮定しよう。

fn′∘...∘f1=fn′(fn′−1∘...∘f1)。fn′−1∘...∘f1はサージェクション（全射）である、インダクション（帰納）仮定によって。fn′(fn′−1∘...∘f1)はサージェクション（全射）である、n=2ケースに対する本命題によって。

4: 注


ステップ2を本当に私たちは必要とするのか？そう思う: ステップ2無しにfn′∘(fn′−1∘...∘f1)はサージェクション（全射）であると、本命題がn=1,...,n′−1ケースたちに対して成立することのみを根拠に主張する誘惑にかられるかもしれないが、n′=2である時、仮定されているのは、n=1=n′−1ケースだけだ。

サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）は必ずしもサージェクション（全射）ではないという命題と比較のこと。

参考資料
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