6要素たちグループ（群）は、アイデンティティ（単位要素）のみを共有する2つの3要素たちサブグループ（部分群）たちを持てないことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の6要素たちグループ（群）は、アイデンティティ（単位要素）のみを共有する2つの3要素たちサブグループ（部分群）たちを持てないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_1\): \(\in \{G \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{G \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\vert G \vert = 6\)
\(\land\)
\(\vert G_1 \vert = 3\)
\(\land\)
\(G_1 \cap G_2 = \{1\}\)
)
\(\implies\)
\(\vert G_2 \vert \neq 3\)
//
2: 自然言語記述
任意の6要素たちグループ（群）\(G\)は、以下を満たす2つの3要素たちサブグループ（部分群）たち\(G_1, G_2\)、つまり、\(G_1 \cap G_2 = \{1\}\)、を持てない。
3: 証明
以下を満たす\(G_1 = \{1, a_1, a_2\}\)および\(G_2 = \{1, b_1, b_2\}\)、つまり、\(G_1 \cap G_2 = \{1\}\)、があったと仮定しよう。
\(\{1, a_1, a_2, b_1, b_2\}\)は互いに異なることになり、残りとして\(c \in G\)があることになる。
\(b_1 a_1\)は何になるだろうか？\(1\)ではあり得ない、なぜなら、\(b_1 a_1 = 1\)は\(b_1 = {a_1}^{-1} \in G_1 \cap G_2 = \{1\}\)を含意することになり、それは\(b_1 = 1\)を含意することになる、矛盾。それは、\(a_j\)ではあり得ない、なぜなら、\(b_1 a_1 = a_j\)は\(b_1 = a_j {a_1}^{-1} \in G_1 \cap G_2 = \{1\}\)を含意することになり、それは\(b_1 = 1\)を含意することになる、矛盾。それは\(b_j\)ではあり得ない、なぜなら、\(b_1 a_1 = b_j\)は\(a_1 = {b_1}^{-1} b_j \in G_1 \cap G_2 = \{1\}\)を含意することになり、それは\(a_1 = 1\)を含意することになる、矛盾。したがって、\(b_1 a_1 = c\)。しかし、同様に、\(b_1 a_2 = c\)、すると、\(a_1 = {b_1}^{-1} c = a_2\)、矛盾。したがって、\(b_1 a_1\)はいかなる妥当な値も持ち得ない。
したがって、仮定は誤っている。
