661: 6要素たちグループ（群）は、アイデンティティ（単位要素）のみを共有する2つの3要素たちサブグループ（部分群）たちを持てない

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6要素たちグループ（群）は、アイデンティティ（単位要素）のみを共有する2つの3要素たちサブグループ（部分群）たちを持てないことの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の6要素たちグループ（群）は、アイデンティティ（単位要素）のみを共有する2つの3要素たちサブグループ（部分群）たちを持てないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G_1$: $\in \{G\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
$G_2$: $\in \{G\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$|G|=6$
$\wedge$
$|G_1|=3$
$\wedge$
$G_1\cap G_2=\{1\}$
)
$⟹$
$|G_2|\ne 3$
//

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2: 自然言語記述

任意の6要素たちグループ（群）$G$は、以下を満たす2つの3要素たちサブグループ（部分群）たち$G_1,G_2$、つまり、$G_1\cap G_2=\{1\}$、を持てない。

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3: 証明

以下を満たす$G_1=\{1,a_1,a_2\}$および$G_2=\{1,b_1,b_2\}$、つまり、$G_1\cap G_2=\{1\}$、があったと仮定しよう。

$\{1,a_1,a_2,b_1,b_2\}$は互いに異なることになり、残りとして$c\in G$があることになる。

$b_1{a}_1$は何になるだろうか？$1$ではあり得ない、なぜなら、$b_1{a}_1=1$は$b_1={a_1}^{-1}\in G_1\cap G_2=\{1\}$を含意することになり、それは$b_1=1$を含意することになる、矛盾。それは、$a_j$ではあり得ない、なぜなら、$b_1{a}_1=a_j$は$b_1=a_j{a_1}^{-1}\in G_1\cap G_2=\{1\}$を含意することになり、それは$b_1=1$を含意することになる、矛盾。それは$b_j$ではあり得ない、なぜなら、$b_1{a}_1=b_j$は$a_1={b_1}^{-1}{b}_j\in G_1\cap G_2=\{1\}$を含意することになり、それは$a_1=1$を含意することになる、矛盾。したがって、$b_1{a}_1=c$。しかし、同様に、$b_1{a}_2=c$、すると、$a_1={b_1}^{-1}c=a_2$、矛盾。したがって、$b_1{a}_1$はいかなる妥当な値も持ち得ない。

したがって、仮定は誤っている。

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参考資料

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