同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）ものの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）ものの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
0: 注1
任意の\(n\)長2ディメンショナル（次元）アレイ（配列）は\(n \times n\)マトリックス（行列）である。
任意の\((p-q)\)テンソルの任意のベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちは、ベクトルたちスペース（空間）ディメンション（次元）長(p + q)ディメンショナル（次元）アレイ（配列）である、しかし、ある同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）は必ずしもあるテンソルのコンポーネントたちではない: 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）は、一般的に、必ずしも何らのテンソルにも関係しない単なる数字たちのコレクションである。
当該同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）のディメンション（次元）たちは、私たちの目的のためには、同一長を持たなければならない、なぜなら、そうでなければ、インデックスたちのあるパーミュテーション（並べ替え）は意味をなさないであろう。
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての同一長 } n \text{ ディメンショナル（次元）アレイ（配列）たち } \}\), \(= \begin{pmatrix} M_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)
\( S\): \(\subseteq \{1, ..., n\}\), \(= \{l_1, ..., l_k\}\)
\(*M'\): \(\in \{\text{ 全ての同一長 } n \text{ ディメンショナル（次元）アレイ（配列）たち }\}\), \(= \begin{pmatrix} M'_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 / k! \sum_\sigma sgn \sigma M_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} \end{pmatrix}\)、ここで、各\(\sigma\)は、以下を満たす\((j_1, ..., j_n)\)のあるパーミュテーション（並べ替え）、つまり、\((j_{l_1}, ..., j_{l_k})\)だけが並べ替えられる、である
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コンディションたち:
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2: 自然言語記述
任意の同一長\(n\)ディメンショナル（次元）アレイ（配列）\(M = \begin{pmatrix} M_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)、任意のサブセット（部分集合）\(S = \{l_1, ..., l_k\} \subseteq \{1, ..., n\}\)に対して、アレイ（配列）\(M' = \begin{pmatrix} M'_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 / k! \sum_\sigma sgn \sigma M_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} \end{pmatrix}\)、ここで、各\(\sigma\)は、以下を満たす\((j_1, ..., j_n)\)のあるパーミュテーション（並べ替え）、つまり、\((j_{l_1}, ..., j_{l_k})\)だけが並べ替えられる、である
3: 注2
例えば、\(S = \{1, ..., k\}\)である時、当該アンチシンメトライズド（反対称化された）アレイ（配列）は\(\begin{pmatrix} M_{[j_1, ..., j_k], j_{k + 1}, ..., j_n} \end{pmatrix}\)と記される。
任意のパーミュテーション（並べ替え）\(\sigma'\)で\((j_{l_1}, ..., j_{l_k})\)だけを並べ替えるものに対して、\(M'_{\sigma' ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma' ((j_1, ..., j_n))_n} = sgn \sigma' M'_{j_1, ..., j_n}\)、それが実のところアンチシンメトライゼーション（反対称化）の目的である、なぜなら、\(M'_{\sigma' ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma' ((j_1, ..., j_n))_n} = 1 / k! \sum_\sigma sgn \sigma M_{\sigma \circ \sigma' ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma \circ \sigma' ((j_1, ..., j_n))_n} = 1 / k! \sum_\sigma sgn \sigma sgn \sigma' sgn \sigma' M_{\sigma \circ \sigma' ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma \circ \sigma' ((j_1, ..., j_n))_n} = sgn \sigma' 1 / k! \sum_\sigma sgn (\sigma \circ \sigma') M_{\sigma \circ \sigma' ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma \circ \sigma' ((j_1, ..., j_n))_n} = sgn \sigma' 1 / k! \sum_{\sigma \circ \sigma'} sgn (\sigma \circ \sigma') M_{\sigma \circ \sigma' ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma \circ \sigma' ((j_1, ..., j_n))_n}\)、なぜなら、\(\sigma\)は\(S\)の全てのパーミュテーション（並べ替え）たちを巡回するところ、\(\sigma \circ \sigma'\)も\(S\)の全てのパーミュテーション（並べ替え）たちを巡回する、任意のパーミュテーション（並べ替え）は、全てのパーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）を全てのパーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップする、左または右からコンポジション（合成）によって、という命題によって、\(= sgn \sigma' 1 / k! \sum_{\sigma''} sgn (\sigma'') M_{\sigma'' ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma'' ((j_1, ..., j_n))_n}\)、\(\sigma \circ \sigma'\)を単に\(\sigma''\)と名前を変えて、\(= sgn \sigma' M'_{j_1, ..., j_n}\)。
