907: セット（集合）のσ-アルジェブラ（多元環）

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セット（集合）の$\sigma$-アルジェブラ（多元環）の定義

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話題

About: メジャー（測度）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、セット（集合）の$\sigma$-アルジェブラ（多元環）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\ast A$: $\subseteq PowS$
//

コンディションたち:
1) $S\in A$
$\wedge$
2) $\mathrm{\forall }a\in A(S\setminus a\in A)$
$\wedge$
3) $\mathrm{\forall }s:\mathbb{N}\to A({\cup }_{j\in \mathbb{N}}s(j)\in A)$
//

$A$の各要素は、"メジャラブル（測定可能）サブセット（部分集合）"と呼ばれる。

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2: 注

言い換えると、$s$はシーケンス（列）$s(0),s(1),...$である。

$s$は実際上、任意のファイナイト（有限）シーケンス（列）にできる、なぜなら、$s$は各$N+1\le j$に対して同一の$s(N)$へマップでき、${\cup }_{j\in \mathbb{N}}s(j)=s(1)\cup ...\cup s(N)$。

当該コンディションたちによれば、以下の典型的なサブセット（部分集合）たちは不可避に$A$内に含まれる（これらが全てというわけではない）: $\mathrm{\varnothing }=S\setminus S\in A$; ${\cap }_{j\in \mathbb{N}}s(j)=S\setminus {\cup }_{j\in \mathbb{N}}(S\setminus s(j))\in A$: 任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、第1サブセット（部分集合）マイナス第2のかたまりのサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を参照のこと。

本概念を考える動機は、$S$上の'メジャー（測度）'を定義することである: $S$の一部のサブセット（部分集合）たちを測定したいが、$S$の全てのサブセット（部分集合）たちを測定する必要があるわけではない、したがって、どのサブセット（部分集合）たちを測定する必要があるかを私たちは定めるが、それらが、$A$の要素たちに他ならない、それが、$A$の各要素が"メジャラブル（測定可能）サブセット（部分集合）"と呼ばれる理由である。

もちろん、$A$は、$S$に対して自動的に決まるわけではない: それは1つの選択である。$A=PowS$または$A=\{S,\mathrm{\varnothing }\}$は可能な選択である。

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参考資料

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