セット（集合）の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義
話題
About: メジャー（測度）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、セット（集合）の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(*A\): \(\subseteq Pow S\)
//
コンディションたち:
1) \(S \in A\)
\(\land\)
2) \(\forall a \in A (S \setminus a \in A)\)
\(\land\)
3) \(\forall s: \mathbb{N} \to A (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j) \in A)\)
//
\(A\)の各要素は、"メジャラブル（測定可能）サブセット（部分集合）"と呼ばれる。
2: 注
言い換えると、\(s\)はシーケンス（列）\(s (0), s (1), ...\)である。
\(s\)は実際上、任意のファイナイト（有限）シーケンス（列）にできる、なぜなら、\(s\)は各\(N + 1 \le j\)に対して同一の\(s (N)\)へマップでき、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j) = s (1) \cup ... \cup s (N)\)。
当該コンディションたちによれば、以下の典型的なサブセット（部分集合）たちは不可避に\(A\)内に含まれる（これらが全てというわけではない）: \(\emptyset = S \setminus S \in A\); \(\cap_{j \in \mathbb{N}} s (j) = S \setminus \cup_{j \in \mathbb{N}} (S \setminus s (j)) \in A\): 任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、第1サブセット（部分集合）マイナス第2のかたまりのサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を参照のこと。
本概念を考える動機は、\(S\)上の'メジャー（測度）'を定義することである: \(S\)の一部のサブセット（部分集合）たちを測定したいが、\(S\)の全てのサブセット（部分集合）たちを測定する必要があるわけではない、したがって、どのサブセット（部分集合）たちを測定する必要があるかを私たちは定めるが、それらが、\(A\)の要素たちに他ならない、それが、\(A\)の各要素が"メジャラブル（測定可能）サブセット（部分集合）"と呼ばれる理由である。
もちろん、\(A\)は、\(S\)に対して自動的に決まるわけではない: それは1つの選択である。\(A = Pow S\)または\(A = \{S, \emptyset\}\)は可能な選択である。
