サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、第1サブセット（部分集合）マイナス第2のかたまりのサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、第1サブセット（部分集合）マイナス第2のかたまりのサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq S\)
\(\{S_{2, j} \subseteq S \vert j \in J\}\): \(J \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S_1 \setminus \cup_{j \in J} S_{2, j} = \cap_{j \in J} (S_1 \setminus S_{2, j})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S_1 \setminus \cup_{j \in J} S_{2, j} \subseteq \cap_{j \in J} (S_1 \setminus S_{2, j})\)であることを見る; ステップ2: \(\cap_{j \in J} (S_1 \setminus S_{2, j}) \subseteq S_1 \setminus \cup_{j \in J} S_{2, j}\)であることを見る。
ステップ1:
\(p \in S_1 \setminus \cup_{j \in J} S_{2, j}\)は任意のものであるとしよう。
\(p \in S_1\)。\(p \notin \cup_{j \in J} S_{2, j}\)、したがって、\(p \notin S_{2, j}\)、各\(j \in J\)に対して。したがって、\(p \in S_1 \setminus S_{2, j}\)、各\(j\)に対して。したがって、\(p \in \cap_{j \in J} (S_1 \setminus S_{2, j})\)。
ステップ2:
\(p \in \cap_{j \in J} (S_1 \setminus S_{2, j})\)は任意のものであるとしよう。
\(p \in S_1 \setminus S_{2, j}\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(p \in S_1\)および\(p \notin S_{2, j}\)、各\(j\)に対して、したがって、\(p \notin \cup_{j \in J} S_{2, j}\)、したがって、\(p \in S_1 \setminus \cup_{j \in J} S_{2, j}\)。
