2個のナチュラルナンバー（自然数）たちに対して、ナンバー（数字）たちのコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）は、大きくない方のナンバー（数）とナンバー（数字）たちの非負差のコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）のサブセット（部分集合）のコモンディバイザー（公約数）たちの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2個のナチュラルナンバー（自然数）たちに対して、当該ナンバー（数字）たちのコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）は、大きくない方のナンバー（数）と当該ナンバー（数字）たちの非負差のコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{N}\):
\(n\): \(\in \mathbb{N}\)
\(n'\): \(\in \mathbb{N}\)で、\(n \le n'\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(cd (\{n, n'\}) = cd (\{n, n' - n\})\)、ここで、\(cd (\bullet)\)は、引数のコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）を表わす
//
2: 注1
即座の系として、\(gcd (\{n, n'\}) = gcd (\{n, n' - n\})\)、なぜなら、グレイテストコモンディバイザー（最大公約数）はコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）によって決定される。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(d \in cd (\{n, n'\})\)に対して、\(d \in cd (\{n, n' - n\})\)であることを見る; ステップ2: 各\(d \in cd (\{n, n' - n\})\)に対して、\(d \in cd (\{n, n'\})\)であることを見る。
ステップ1:
\(d \in cd (\{n, n'\})\)を任意のものとする。
以下を満たすある\(m, m' \in \mathbb{N}\)、つまり、\(n = d m\)および\(n' = d m'\)、ここで、\(m \le m'\)、がある。
\(n' - n = d m' - d m = d (m' - m)\)、ここで、\(m' - m \in \mathbb{N}\)。
したがって、\(d \in cd (\{n, n' - n\})\)。
ステップ2:
\(d \in cd (\{n, n' - n\})\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(m, m' \in \mathbb{N}\)、つまり、\(n = d m\)および\(n' - n = d m'\)、がある。
\(n' = n + d m' = d m + d m' = d (m + m')\)、ここで、\(m + m' \in \mathbb{N}\)。
したがって、\(d \in cd (\{n, n'\})\)。
4: 注2
それは、\(n = 0\)である時成立する: \(cd (\{n, n'\}) = cd (\{0, n'\}) = cd (\{n, n' - n\})\): \(cd (\{0, n'\})\)は\(n'\)の因子たちである: \(0\)は何の制限も課さない、なぜなら、\(0 = d 0\)、任意の\(d \in \mathbb{N}\)に対して。
例えば、\(cd (\{0, 6\}) = \{1, 2, 3, 6\}\)。
それは、\(n = n'\)である時成立する: \(cd (\{n, n'\}) = cd (\{n, n\}) = cd (\{n, 0\}) = cd (\{n, n' - n\})\): \(cd (\{n, n\})\)は\(n\)の因子たちであり\(cd (\{n, 0\})\)は\(n\)の因子たちである。
