フィールド（体）およびプライムナンバー（素数）に対して、もしも、フィールド（体）のキャラクタリスティックが0であるかプライムナンバー（素数）より大きい場合、フィールド（体）はエクステンデッド（拡張された）されて1のプリミティブプライムナンバー（素数）-乗ルート（根）を持つようにできることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）上の1のプリミティブn-乗ルート（根）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のキャラクタリスティックの定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、1より大きいディグリー（次元）の任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）に対して、当該フィールド（体）は、拡張して、当該エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内の当該ポリノミアル（多項式）のあるルート（根）を持つようにでき、当該エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）は任意のそうした最小のものへ'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）および任意のプライムナンバー（素数）に対して、もしも、当該フィールド（体）のキャラクタリスティックが0であるか当該プライムナンバー（素数）より大きい場合、当該フィールド（体）はエクステンデッド（拡張された）されて1のあるプリミティブプライムナンバー（素数）-乗ルート（根）を持つようにできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(Ch (F)\): \(= F \text{ のキャラクタリスティック }\)
\(p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Ch (F) = 0 \lor p \lt Ch (F)\)
\(\implies\)
\(\exists F' \in \{F \text{ の全てのエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）たち }\} (\exists \omega_p \in F' (p \text{ は以下を満たす最小の } j \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ 、つまり } \omega_p^j = 1))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p (x) = x^p - 1 \in F [x]\)を取る; ステップ2: \(F\)の以下を満たすあるエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）\(F'\)、つまり、\(p (x)\)のエクステンデッド（拡張された）ポリノミアル（多項式）\(\overline{p (x)} (x) \in F' [x]\)に対して、\(\overline{p (x)} (x) = (x - \alpha_1) ... (x - \alpha_p)\)、を取る; ステップ3: 最小ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）で\(\alpha_j\)のそれ累乗が\(1\)であるものを\(k_j\)とし、\(k_j\)は\(p\)の約数であることを見る; ステップ4: 全ての\(k_j\)たちが\(1\)であったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(p (x) = x^p - 1 \in F [x]\)を取ろう。
ステップ2:
\(F\)の以下を満たすあるエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）\(F'\)、つまり、\(p (x)\)のエクステンデッド（拡張された）ポリノミアル（多項式）\(\overline{p (x)} (x) \in F' [x]\)に対して、\(\overline{p (x)} (x) = (x - \alpha_1) ... (x - \alpha_p)\)、それは可能である、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、1より大きいディグリー（次元）の任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）に対して、当該フィールド（体）は、拡張して、当該エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内の当該ポリノミアル（多項式）のあるルート（根）を持つようにでき、当該エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）は任意のそうした最小のものへ'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題によって: その"注2"を参照のこと。
ステップ3:
各\(\alpha_j\)は\(\alpha_j^p = 1\)を満たす、なぜなら、\(\overline{p (x)} (\alpha_j) = \alpha_j^p - 1 = 0\)。
以下を満たす最小の\(l \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(\alpha_j^l = 1\)、を\(k_j\)としよう。\(1 \le k_j \le p\)。
\(k_j\)は\(p\)の約数である、なぜなら、\(p = k_j q + r\)、ここで、\(0 \le r \lt k_j\)、と取って、\(\alpha_j^p = \alpha_j^{k_j q + r} = \alpha_j^{k_j q} \alpha_j^r = (\alpha_j^{k_j})^q \alpha_j^r = 1^q \alpha_j^r = 1 \alpha_j^r = \alpha_j^r = 1\)、それが含意するのは、\(r = 0\): そうでなければ、\(r\)最小である\(k_j\)よりも小さいことになってしまう。
したがって、\(p\)はプライムナンバー（素数）であるから、\(k_j = 1 \text{ または } p\)。
ステップ4:
全ての\(k_j\)たちが\(1\)であったと仮定しよう。
それは、\(\alpha_j^1 = \alpha_j = 1\)を意味することになる。
\(\overline{p (x)} (x) = x^p - 1 = (x - \alpha_1) ... (x - \alpha_p) = (x - 1) ... (x - 1) = x^p - (1 + ... + 1) x^{p - 1} + ...\)、ここで、"\(1 + ... + 1\)"は\(p\)個の\(1\)たちのアディション（和）である。しかし、\(Ch (F) = 0\)または\(p \lt Ch (F)\)であるから、\(1 + ... + 1 \neq 0\)、その\(x^p - 1\)であることに反する矛盾。
したがって、少なくとも1個の\(k_j = p\)がある。
ステップ5:
すると、\(\alpha_j\)は\(1\)の\(F'\)上におけるあるプリミティブルート（根）である。
