3個のアイテム（項）たちに対するアソシアティビティ（結合性）は任意のアソシエーション（結合）を許すことの記述/証明
話題
About: ストラクチャー（構造）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ストラクチャー（構造）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のストラクチャー（構造）に対して、任意の3個のアイテム（項）たちに対するアソシアティビティ（結合性）は任意のアソシエーション（結合）を許すという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのストラクチャー（構造）たち }\}\)
\(*\): \(\in \{\text{ の全てのオペレーションたち } S\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall s_1, s_2, s_3 \in S ((s_1 * s_2) * s_3 = s_1 * (s_2 * s_3))\)
\(\implies\)
\(s_1 * ... * s_n := (...((s_1 * s_2) * s_3) * ... * s_{n - 1}) * s_n\)はどんな方法でもアソシエイト（結合）できる
//
2: 注
アソシアティビティ（結合性）は一般的に、3個のアイテム（項）たちに関して定義される、それは、任意のアソシアティビティ（結合性）を許すものと理解されている。それが本当にそうであることを確認しよう。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(1 \le j \le n - 1\)に対して、\(s_j\)と\(s_{j + 1}\)を第1にアソシエイト（結合）する; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(s_1 * ... * s_n := (...(((...((s_1 * s_2) * s_3) * ... * s_{j - 1}) * s_j) * s_{j + 1}) * ... * s_{n - 1}) * s_n\)。
\(a := (...((s_1 * s_2) * s_3) * ... * s_{j - 1})\)として、それは、\((...((a * s_j) * s_{j + 1}) * ... * s_{n - 1}) * s_n\)。
3個のアイテム（項）たちに対するアソシアティビティ（結合性）を \((a * s_j) * s_{j + 1}\)へ適用して、\(= (...(a * (s_j * s_{j + 1})) * ... * s_{n - 1}) * s_n = (...((...((s_1 * s_2) * s_3) * ... * s_{j - 1}) * (s_j * s_{j + 1})) * ... * s_{n - 1}) * s_n\)。
したがって、任意の\(s_j\)と\(s_{j + 1}\)をアソシエイト（結合）できる。
ステップ2:
\(b := s_j * s_{j + 1}\)として、それは、\((...((...((s_1 * s_2) * s_3) * ... * s_{j - 1}) * b) * ... * s_{n - 1}) * s_n\)。
ステップ1によって、その任意の隣り合う2個のアイテム（項）たちをアソシエイト（結合）できる。
それが、\(s_1 * ... * s_n\) "はどんな方法でもアソシエイト（結合）できる"が意味することである。
