マップ（写像）に対して、レンジ（値域）のカーディナリティ（濃度）はドメイン（定義域）のカーディナリティ（濃度）に等しいかそれより小さいことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の定義を知っている。
- 読者は、リレーション（関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、当該レンジ（値域）のカーディナリティ（濃度）は当該ドメイン（定義域）のカーディナリティ（濃度）に等しいかそれより小さいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Card (f (S_1)) \le Card (S_1)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: リレーション（関係）\(R := \{(s_2, s_1) \in S_2 \times S_1 \vert s_2 = f (s_1)\}\)のことを考える; ステップ2: チョイスのアキシオム（選択公理）を適用して以下を満たすあるファンクション（関数）\(F \subseteq R\)、つまり、\(Dom (F) = Dom (R)\)、を得る。
ステップ1:
リレーション（関係）\(R := \{(s_2, s_1) \in S_2 \times S_1 \vert s_2 = f (s_1)\}\)のことを考えよう。
\(R\)のドメイン（定義域）は\(Dom (R) = f (S_1)\)である。
\(R\)は必ずしもファンクション（関数）ではない、なぜなら、ある\(s_2\)に対して、何らか複数の\(s_1\)たちがあるかもしれない。
ステップ2:
しかし、チョイスのアキシオム（選択公理）によって、以下を満たすあるファンクション（関数）\(F \subseteq R\)、つまり、\(Dom (F) = Dom (R)\)、がある。
\(F\)は\(Dom (F)\)から\(S_1\)の中へのマップ（写像）である。
\(F\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、以下を満たす任意の\(s_2, s'_2 \in Dom (F)\)、つまり、\(s_2 \neq s'_2\)、に対して、\(F (s_2) \neq F (s'_2)\)、なぜなら、もしも、\(F (s_2) = F (s'_2)\)である場合、\(s_2 = f (F (s_2)) = f (F (s'_2)) = s'_2\)、矛盾。
したがって、\(Card (f (S_1)) = Card (Dom (R)) = Card (Dom (F)) \le Card (S_1)\)。
