シュードメトリックスペース（疑似計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義
話題
About: シュードメトリックスペース（疑似計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シュードメトリックスペース（疑似計量付き空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、シュードメトリックスペース（疑似計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全てのシュードメトリックスペース（疑似計量付き空間）たち }\}\)
\( s\): \(: \mathbb{N} \to M\), \(\in \{M \text{ 上のポイントたちのシーケンス（列）たち }\}\)
\(*m\): \(\in M\)
//
コンディションたち:
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists N \in \mathbb{N} (\forall n \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } N \lt n (dist (m, s (n)) \lt \epsilon)))\)
//
2: 注
時により、\(\mathbb{N} \setminus \{0\}\)を\(\mathbb{N}\)の代わりに使うかもしれない。
\(M\)がインデュースト（誘導された）トポロジーを持つトポロジカルスペース（空間）にされた時、\(\mathbb{N}\)はダイレクテッドセット（有向集合）であり、\(s\)は当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットであり、\(s\)の当該シュードメトリックスペース（疑似計量付き空間）上のシーケンス（列）として任意のコンバージェンス（収束点）は、\(s\)の当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットとしてのコンバージェンス（収束点）である、なぜなら、\(m\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_m \subseteq M\)に対して、\(m\)周りのある\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{m, \epsilon} \subseteq U_m\)があり、以下を満たすある\(N\)、つまり、各\(N \lt n\)に対して、\(dist (m, s (n)) \lt \epsilon\)、がある、それが意味するのは、\(s (n) \in B_{m, \epsilon} \subseteq U_m\); 他方で、\(s\)の当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットとしてのコンバージェンス（収束点）は、\(s\)の当該シュードメトリックスペース（疑似計量付き空間）上のシーケンス（列）としてのコンバージェンス（収束点）である、なぜなら、任意の\(\epsilon\)に対して、\(B_{m, \epsilon}\)は\(m\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であるから、以下を満たすある\(N\)、つまり、各\(N \lt n\)に対して、\(s (n) \in B_{m, \epsilon}\)、がある、それが意味するのは、\(dist (m, s (n)) \lt \epsilon\)。
コンバージェンス（収束点）\(m\)は必ずしもユニークではない（'メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）'と違って）: 以下を満たす任意の\(m, m' \in M\)、つまり、\(m \neq m'\)および\(dist (m, m') = 0\)、に対して、\(dist (m, s (n)) = dist (m', s (n))\)、なぜなら、\(dist (m, s (n)) \le dist (m, m') + dist (m', s (n)) = dist (m', s (n))\)、そして、同様に、\(dist (m', s (n)) \le dist (m, s (n))\)、したがって、もしも、\(s\)が\(m\)にコンバージ（収束）すれば、\(s\)は\(m'\)へもコンバージ（収束）し、逆も真である。
