シュードメトリック（疑似計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シュードメトリック（疑似計量）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、シュードメトリック（疑似計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全てのシュードメトリックスペース（疑似計量付き空間）たち }\}\)
\(*O\): \(\in \{M \text{ の全てのトポロジーたち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall S \subseteq M (S \in O \iff (\forall p \in S (\exists \epsilon \in \mathbb{R} (0 \lt \epsilon \land (B_{p, \epsilon} \subseteq S)))))\)、ここで、\(B_{p, \epsilon}\)は\(p\)周り半径\(\epsilon\)のオープンボール（開球）
//
2: 注
\(O\)は本当にトポロジーであることを見よう。
\(\emptyset \in O\)。
\(M \in O\)。
任意の\(\{U_j \vert j \in J\} \subseteq O\)、ここで、\(J\)は任意のアンカウンタブル（不可算）インデックスセット（集合）、および\(U := \cup_{j \in J} U_j\)に対して、各\(u \in U\)に対して、\(u \in U_j\)、ある\(j \in J\)に対して、そして、以下を満たすある\(B_{u, \epsilon}\)、つまり、\(B_{u, \epsilon} \subseteq U_j\)、がある、そして、\(B_{u, \epsilon} \subseteq U_j \subseteq U\)、したがって、\(U \in O\)。
任意の\(\{U_j \vert j \in J\} \subseteq O\)、ここで、\(J\)は任意のファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、および\(U := \cap_{j \in J} U_j\)に対して、各\(u \in U\)に対して、\(u \in U_j\)、各\(j \in J\)に対して、そして、各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\(B_{u, \epsilon_j}\)、つまり、\(B_{u, \epsilon_j} \subseteq U_j\)、がある、そして、\(\epsilon := min \{\epsilon_j \vert j \in J\}\)に対して、\(0 \lt \epsilon\)および\(B_{u, \epsilon} \subseteq B_{u, \epsilon_j} \subseteq U_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(B_{u, \epsilon} \subseteq U\)、したがって、\(U \in O\)。
したがって、\(O\)はトポロジーである。
したがって、\(dist\)が"シュード（疑似"であることは、トポロジーをインデュース（誘導する）ことを不可能にしない。
しかし、勿論、"シュード（疑似）"であることは、当該トポロジーのプロパティたちに影響する: 以下を満たす何らかの\(m_1, m_2 \in M\)、つまり、\(m_1 \neq m_2\)および\(dist (m_1, m_2) = 0\)に対して、\(m_1\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）は\(m_2\)を包含する、したがって、\(M\)は、（特に）ハウスドルフであることが保証されない（メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題と比較のこと）。
各\(m \in M\)および各\(\epsilon\)に対して、\(B_{m, \epsilon} \in O\)、なぜなら、任意の\(m' \in B_{m, \epsilon}\)に対して、\(dist (m, m') \lt \epsilon\)、したがって、\(0 \lt \epsilon - dist (m, m')\)、そして、\(B_{m', \epsilon - dist (m, m')}\)に対して、各\(m'' \in B_{m', \epsilon - dist (m, m')}\)に対して、\(dist (m'', m') \lt \epsilon - dist (m, m')\)、しかし、\(dist (m'', m) \le dist (m'', m') + dist (m', m) \lt \epsilon - dist (m, m') + dist (m', m) = \epsilon\)、それが意味するのは、\(B_{m', \epsilon - dist (m, m')} \subseteq B_{m, \epsilon}\)。
本定義の中で、'オープンボール（開球）'は'オープンキューブ（開立方体）'で置き換えることができる、本概念を全く変えることなく、なぜなら、もしも、あるオープンボール（開球）があれば、その中に包含されたあるオープンキューブ（開立方体）があり、もしも、あるオープンキューブ（開立方体）があれば、その中に包含されたあるオープンボール（開球）がある。
時により、'オープンキューブ（開立方体）'のほうがより便利であり、安全に、'オープンボール（開球）'の代わりに'オープンキューブ（開立方体）'を使用できる。
