リニアリーオーダードリング（線形順序環）、ファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちで同一インデックスセット（集合）を持つもの、サブセット（部分集合）たちの合計としてのサブセット（部分集合）で同じインデックスセット（集合）を持つものに対して、サブセット（部分集合）のマキシマム（最大値）はサブセット（部分集合）たちのマキシマム（最大値）たちの合計に等しいかそれより小さく、サブセット（部分集合）のミニマム（最小値）はサブセット（部分集合）たちのミニマム（最小値）たちの合計に等しいかそれより大きいことの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアリーオーダードリング（線形順序環）の定義を知っている。
- 読者は、リニアリーオーダードセット（線形順序集合）のサブセット（部分集合）でインデュースト（誘導された）リニアオーダリング（線形順序）を持つものの定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のマキシマム（最大）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のミニマム（最小）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、任意の非空ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）はマキシマム（最大）およびミニマム（最小）を持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリニアリーオーダードリング（線形順序環）、任意のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちで任意の同一非空ファイナイト（有限）インデックスセット（集合）を持つものたち、当該サブセット（部分集合）たちの合計としてのサブセット（部分集合）で同じインデックスセット（集合）を持つものに対して、当該サブセット（部分集合）のマキシマム（最大）は当該サブセット（部分集合）たちのマキシマム（最大）たちの合計に等しいかそれより小さく、当該サブセット（部分集合）のミニマム（最小）は当該サブセット（部分集合）たちのミニマム（最小）たちの合計に等しいかそれより大きいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリニアリーオーダードリング（線形順序環）たち }\}\)で、任意のリニアオーダリング（線形順序）\(\lt\)を持つもの
\(J\): \(\in \{\text{ 全ての非空ファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(J'\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_{j'} = \{s_{j', j} \in R \vert j \in J\} \vert j' \in J'\}\):
\(S\): \(= \{\sum_{j' \in J'} s_{j', j} \vert j \in J\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Max (S) \le \sum_{j' \in J'} Max (S_{j'})\)
\(\land\)
\(\sum_{j' \in J'} Min (S_{j'}) \le Min (S)\)
//
2: 注
\(Max (S)\)、\(Max (S_{j'})\)、\(Min (S_{j'})\)、\(Min (S)\)は存在する、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、任意の非空ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）はマキシマム（最大）およびミニマム（最小）を持つという命題によって。
本命題は、\(J\)および\(J'\)はファイナイト（有限）であるよう要求する、なぜなら、そうでなければ、\(\sum_{j' \in J'} s_{j', j}\)は一般には意味をなさないことになり、\(Max (S)\)、\(Max (S_{j'})\)、\(Min (S_{j'})\)、\(Min (S)\)は一般には存在しないことになる。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Max (S) \le \sum_{j' \in J'} Max (S_{j'})\)であることを見る; ステップ2: \(\sum_{j' \in J'} Min (S_{j'}) \le Min (S)\)であることを見る。
ステップ1:
\(Max (S) = \sum_{j' \in J'} s_{j', j}\)、ある\(j \in J\)に対して。
しかし、\(s_{j', j} \le Max (S_{j'})\)、各\(j' \in J'\)に対して。
したがって、\(\sum_{j' \in J'} s_{j', j} \le \sum_{j' \in J'} Max (S_{j'})\)。
したがって、\(Max (S) \le \sum_{j' \in J'} Max (S_{j'})\)。
ステップ2:
\(Min (S) = \sum_{j' \in J'} s_{j', j}\)、ある\(j \in J\)に対して。
しかし、\(Min (S_{j'}) \le s_{j', j}\)、各\(j' \in J'\)に対して。
したがって、\(\sum_{j' \in J'} Min (S_{j'}) \le \sum_{j' \in J'} s_{j', j}\)。
したがって、\(\sum_{j' \in J'} Min (S_{j'}) \le Min (S)\)。
