メトリックスペース（計量付き空間）のバウンデッドサブセット（有界部分集合）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）のバウンデッドサブセット（有界部分集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(*S\): \(\subseteq M\)
//
コンディションたち:
\(\exists r \in \mathbb{R} (\forall s_1, s_2 \in S (dist (s_1, s_2) \lt r))\)
//
2: 注
そうした\(r\)たちのセット（集合）のインフィマム（下限）は、"\(S\)のディアミター（直径）"と呼ばれる。
\(S\)のディアミター（直径）\(D\)に対して、\(\forall s_1, s_2 \in S (dist (s_1, s_2) \le D)\)、なぜなら、もしも、\(D \lt dist (s_1, s_2)\)であったら、\(D + (dist (s_1, s_2) - D) / 2 \lt dist (s_1, s_2)\)、したがって、全ての\(r\)たちは\(D + (dist (s_1, s_2) - D) / 2 \lt r\)を満たす必要があることになる、それが意味することになるのは、\(D + (dist (s_1, s_2) - D) / 2\)は全ての\(r\)たちのあるローワーバウンド（下限）であり\(D\)は全てのローワーバウンド（下限）たちのマキシマム（最大値）ではなかったということ、矛盾。
\(\forall s_1, s_2 \in S (dist (s_1, s_2) \lt D)\)は必ずしも成立しない: 例えば、\(M = \mathbb{R}\)のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）としたものおよび\(S = [-1, 1]\)、すると、\(D = 2\)、しかし、\(dist (-1, 1) = 2 = D\)。
\(S\)がバウンデッド（有界）である時、各固定された\(m \in M\)に対して、以下を満たすある\(r' \in \mathbb{R}\)、つまり、各\(s \in S\)に対して、\(dist (m, s) \lt r'\)、がある、なぜなら、任意の固定された\(s' \in S\)を取って、\(dist (m, s) \le dist (m, s') + dist (s', s) \lt dist (m, s') + r\)、したがって、\(r' := dist (m, s') + r\)でよい。
他方で、以下を満たすある\(r' \in \mathbb{R}\)、つまり、ある\(m \in M\)に対して、各\(s \in S\)に対して、\(dist (m, s) \lt r'\)、がある時、\(S\)はバウンデッド（有界）である、なぜなら、各\(s_1, s_2 \in S\)に対して、\(dist (s_1, s_2) \le dist (s_1, m) + dist (m, s_2) \lt 2 r'\)、したがって、\(r := 2 r'\)でよい。
