メトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、バウンデッドサブセット（有界部分集合）のクロージャー（閉包）はバウンデッド（有界）で同一ディアミター（直径）を持つことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）のバウンデッドサブセット（有界部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意のバウンデッドサブセット（有界部分集合）のクロージャー（閉包）はバウンデッド（有界）で同一ディアミター（直径）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\in \{M \text{ の全てのバウンデッドサブセット（有界部分集合）たち }\}\)で、ディアミター（直径）\(D\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{S} \in \{M \text{ の全てのバウンデッドサブセット（有界部分集合）たち }\}\)で、ディアミター（直径）\(D\)を持つもの
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(s_1, s_2 \in \overline{S}\)を取り、\(dist (s_1, s_2) \lt D + 2 \epsilon\)であることを見る; ステップ2: \(\overline{S}\)のディアミター（直径）は\(D\)であることを見る。
ステップ1:
\(s_1, s_2 \in \overline{S}\)を任意のものとしよう。
\(s_j\)は、\(S\)内にあるか\(S\)のあるアキュームレーションポイント（集積点）である、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(s_j \in S\)である時、\(s'_j := s_j\)としよう。
そうでない場合、ある\(s'_j \in B_{s_j, \epsilon} \cap S\)がある、なぜなら、\(s_j\)はあるアキュームレーションポイント（集積点）である。
したがって、いずれにせよ、\(s'_j \in S\)。
\(dist (s_1, s_2) \le dist (s_1, s'_1) + dist (s'_1 , s'_2) + dist (s'_2, s_2) \lt \epsilon + D + \epsilon = D + 2 \epsilon\)。
\(\epsilon\)は\(s_1, s_2\)から独立に選ばれているので、\(\overline{S}\)に対して、\(r' := D + 2 \epsilon\)でよい、したがって、\(\overline{S}\)はバウンデッド（有界）である。
ステップ2:
\(\overline{S}\)のディアミター（直径）は\(D\)であることを見よう。
\(\overline{S}\)のディアミター（直径）を\(D'\)としよう。
\(D = Inf (\{r \in \mathbb{R} \vert \forall s_1, s_2 \in S (dist (s_1, s_2) \lt r)\})\)。
\(D' = Inf (\{r' \in \mathbb{R} \vert \forall s_1, s_2 \in \overline{S} (dist (s_1, s_2) \lt r')\})\)。
\(D\)に対する各\(r\)に対して、\(D' \le r\)、なぜなら、もしも、\(r \lt D'\)であったら、以下を満たすあるポジティブ（正）\(\epsilon\)、つまり、\(r + 2 \epsilon \lt D'\)、があることになる、しかし、\(r + 2 \epsilon\)はある\(r'\)であることになる、なぜなら、\(D \le r\)および\(D + 2 \epsilon \le r + 2 \epsilon\)、したがって、\(r' \lt D'\)、\(D'\)がインフィマム（下限）であったことに反する矛盾。
それが意味するのは、\(D'\)は\(\{r \in \mathbb{R} \vert \forall s_1, s_2 \in S (dist (s_1, s_2) \lt r)\}\)のあるローワーバウンド（下限）であること、したがって、\(D' \le D\)、なぜなら、\(D\)はそうしたローワーバウンド（下限）たちのマキシマム（最大値）である。
\(\{r' \in \mathbb{R} \vert \forall s_1, s_2 \in \overline{S} (dist (s_1, s_2) \lt r')\} \subseteq \{r \in \mathbb{R} \vert \forall s_1, s_2 \in S (dist (s_1, s_2) \lt r)\}\)、なぜなら、\(\overline{S}\)に対する\(dist (s_1, s_2) \lt r'\)は\(S\)に対する\(dist (s_1, s_2) \lt r'\)を含意する、なぜなら、\(S \subseteq \overline{S}\)。
したがって、\(D \le D'\)、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題によって。
したがって、\(D' = D\)。
