アッパークローズドインターバル（上方閉区間）および非空サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は存在し、サブセット（部分集合）のリアルナンバー（実数）たちセット（集合）上におけるサプリマム（上限）に等しいことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアッパークローズドインターバル（上方閉区間）および任意の非空サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は存在し、当該サブセット（部分集合）のリアルナンバー（実数）たちセット（集合）上におけるサプリマム（上限）に等しいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンセット（集合） }\)で、カノニカル（正典）リニアリーオーダードセット（線形順序集合）を持つもの
\(J\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのアッパークローズドインターバル（上方閉区間）たち }\}\)で、アッパーエンド（上端）\(r_2\)を持つもの
\(S\): \(\subseteq J\)で、\(S \neq \emptyset\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists Sup_J (S)\)、ここで、\(Sup_J (S)\)は\(S \subseteq J\)のサプリマム（上限）である
\(\land\)
\(Sup_J (S) = Sup_{\mathbb{R}} (S)\)、ここで、\(Sup_{\mathbb{R}} (S)\)は\(S \subseteq \mathbb{R}\)のサプリマム（上限）である
//
2: 注
\(Sup_J (S)\)および\(Sup_{\mathbb{R}} (S)\)は概念上異なる: 例えば、\(J = (-1, 1]\)および\(S = \{0\}\)、すると、\(Sup_J (S) = Min (Ub_J (S)) = Min ([0, 1])\)および\(Sup_{\mathbb{R}} (S) = Min (Ub_{\mathbb{R}} (S)) = Min ([0, \infty))\)。
\(J\)は、本命題においては、アッパークローズド（上方閉）である必要がある: 例えば、\(J = (-1, 1)\)および\(S = (0, 1)\)、すると、\(Sup_{\mathbb{R}} (S) = 1\)、しかし、\(Sup_J (S)\)は存在しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p := Sup_{\mathbb{R}} (S)\)は存在することを見る; ステップ2: \(p \le r_2\)であることを見る; ステップ3: \(Sup_J (S) = p\)であることを見る。
ステップ1:
\(Sup_{\mathbb{R}} (S)\)は存在する、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）の任意の非空アッパーバウンド（上限）サブセット（部分集合）はサプリマム（上限）を持ち、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）の任意の非空ローワーバウンド（下限）たちのサブセット（部分集合）はインフィマム（下限）を持つという命題によって。
\(p := Sup_{\mathbb{R}} (S)\)としよう。
ステップ2:
\(p \le r_2\)であることを見よう。
\(r_2 \lt p\)であったと仮定しよう。
\(r_2 \lt p - (p - r_2) / 2 \lt p\)。
各\(s \in S\)に対して、\(s \le r_2 \lt p - (p - r_2) / 2\)。
したがって、\(p - (p - r_2) / 2 \in Ub_{\mathbb{R}} (S)\)、ここで、\(Ub_{\mathbb{R}} (S)\)は\(S\)の\(\mathbb{R}\)上における全てのアッパーバウンド（上限）たちのセット（集合）であることになる、\(p\)は\(Ub_{\mathbb{R}} (S)\)のミニマム（最小値）であったことに反する矛盾。
したがって、\(p \le r_2\)。
ステップ3:
任意の\(s \in S \subseteq J\)に対して、\(s \le p \le r_2\)、それが含意するのは、\(p \in J\)、なぜなら、\(J\)はあるインターバル（区間）である。
各\(s \in S\)に対して、\(s \le p\)、それが意味するのは、\(p \in Ub_J (S)\)。
もしも、\(p\)が\(Ub_J (S)\)のミニマム（最小値）でなかったら、以下を満たすある\(u \in Ub_J (S)\)、つまり、\(p \le u\)は成立しなかった、があることになる、しかし、\(u \in Ub_{\mathbb{R}} (S)\)、\(p\)は\(Ub_{\mathbb{R}} (S)\)のミニマム（最小値）であったことに反する矛盾、したがって、\(p\)は\(Ub_J (S)\)のミニマム（最小値）である。
それが意味するのは、\(p = Sup_J (S)\)。
