ローワークローズドインターバル（下方閉区間）および非空サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は存在し、サブセット（部分集合）のリアルナンバー（実数）たちセット（集合）上におけるインフィマム（下限）に等しいことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローワークローズドインターバル（下方閉区間）および任意の非空サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は存在し、当該サブセット（部分集合）のリアルナンバー（実数）たちセット（集合）上におけるインフィマム（下限）に等しいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンセット（集合） }\)で、カノニカル（正典）リニアリーオーダードセット（線形順序集合）を持つもの
\(J\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのローワークローズドインターバル（下方閉区間）たち }\}\)で、ローワーエンド（下端）\(r_1\)を持つもの
\(S\): \(\subseteq J\)で、\(S \neq \emptyset\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists Inf_J (S)\)、ここで、\(Inf_J (S)\)は\(S \subseteq J\)のインフィマム（下限）である
\(\land\)
\(Inf_J (S) = Inf_{\mathbb{R}} (S)\)、ここで、\(Inf_{\mathbb{R}} (S)\)は\(S \subseteq \mathbb{R}\)のインフィマム（下限）である
//
2: 注
\(Inf_J (S)\)および\(Inf_{\mathbb{R}} (S)\)は概念上異なる: 例えば、\(J = [-1, 1)\)および\(S = \{0\}\)、すると、\(Inf_J (S) = Max (Lb_J (S)) = Max ([-1 , 0])\)および\(Inf_{\mathbb{R}} (S) = Max (Lb_{\mathbb{R}} (S)) = Max ((- \infty, 0])\)。
\(J\)は、本命題においては、ローワークローズド（下方閉）である必要がある: 例えば、\(J = (-1, 1)\)および\(S = (-1, 0)\)、すると、\(Inf_{\mathbb{R}} (S) = -1\)、しかし、\(Inf_J (S)\)は存在しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p := Inf_{\mathbb{R}} (S)\)は存在することを見る; ステップ2: \(r_1 \le p\)であることを見る; ステップ3: \(Inf_J (S) = p\)であることを見る。
ステップ1:
\(Inf_{\mathbb{R}} (S)\)は存在する、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）の任意の非空アッパーバウンド（上限）サブセット（部分集合）はサプリマム（上限）を持ち、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）の任意の非空ローワーバウンド（下限）たちのサブセット（部分集合）はインフィマム（下限）を持つという命題によって。
\(p := Inf_{\mathbb{R}} (S)\)としよう。
ステップ2:
\(r_1 \le p\)であることを見よう。
\(p \lt r_1\)であったと仮定しよう。
\(p \lt p + (r_1 - p) / 2 \lt r_1\)。
各\(s \in S\)に対して、\(p + (r_1 - p) / 2 \lt r_1 \le s\)。
したがって、\(p + (r_1 - p) / 2 \in Lb_{\mathbb{R}} (S)\)、ここで、\(Lb_{\mathbb{R}} (S)\)は、\(S\)の\(\mathbb{R}\)上における全てのローワーバウンド（下限）たちのセット（集合）であることになる、\(p\)は\(Lb_{\mathbb{R}} (S)\)のマキシマム（最大値）であったことに反する矛盾。
したがって、\(r_1 \le p\)。
ステップ3:
任意の\(s \in S \subseteq J\)に対して、\(r_1 \le p \le s\)、それが含意するのは、\(p \in J\)、なぜなら、\(J\)はあるインターバル（区間）である。
各\(s \in S\)に対して、\(p \le s\)、それが意味するのは、\(p \in Lb_J (S)\)。
もしも、\(p\)が\(Lb_J (S)\)のマキシマム（最大値）でなかったら、以下を満たすある\(u \in Lb_J (S)\)、つまり、\(u \le p\)が成立しなかった、があることになる、しかし、\(u \in Lb_{\mathbb{R}} (S)\)、\(p\)は\(Lb_{\mathbb{R}} (S)\)のマキシマム（最大値）であったことに反する矛盾、したがって、\(p\)は\(Lb_J (S)\)のマキシマム（最大値）である。
それが意味するのは、\(p = Inf_J (S)\)。
