リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよび非ネガティブ（負）サブセット（部分集合）たちのカウンタブル（可算）セット（集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計がナンバー（数字）以上である場合、サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計はナンバー（数字）以上であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義を知っている。
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよびサブセット（部分集合）たちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計が任意のナンバー（数字）以上である場合、当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計は当該ナンバー（数字）以上であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよび非ネガティブ（負）サブセット（部分集合）たちの任意のカウンタブル（可算）セット（集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計が任意のナンバー（数字）以上である場合、当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計は当該ナンバー（数字）以上であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つもの }\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq [0, \infty) \vert j \in J\}\):
\(r\): \(\in \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall s \in \times_{j \in J} S_j (r \le \sum_{j \in J} s^j)\)
\(\implies\)
\(r \le \sum_{j \in J} Inf (S_j)\)
//
\(Inf (S_j)\)たちは不可避に存在する。
\(s^j\)たちおよび\(Inf (S_j)\)たちは非ネガティブ（負）であるから、\(\sum_{j \in J}\)の順序は問題でない、よく知られているとおり。
\(\sum_{j \in J} s^j\)または\(\sum_{j \in J} Inf (S_j)\)はコンバージ（収束）しないかもしれない、そのケースにおいては、当該不等号は成立するとみなされる。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(Inf (S_j)\)が存在することを見る; ステップ2: \(J\)がファイナイト（有限）であるケースに対処し、それ以降、そうでないと仮定する; ステップ3: 各\(\sum_{j \in J} s^j\)がコンバージ（収束）しないケースに対処する; ステップ4: \(\sum_{j \in J} Inf (S_j) \lt r\)であったと仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
各\(Inf (S_l)\)が存在することを見よう。
各\(p \in S_l\)に対して、\(0 \le p\)。
したがって、\(S_l\)はローワーバウンデッド（下に有界）であり、\(Inf (S_l)\)は存在する、なぜなら、\(\mathbb{R}\)の任意のローワーバウンデッド（下に有界）サブセット（部分集合）はインフィマム（下限）を持つ、よく知られているとおり。
ステップ2:
\(J\)がファイナイト（有限）である時、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよびサブセット（部分集合）たちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計が任意のナンバー（数字）以上である場合、当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計は当該ナンバー（数字）以上であるという命題が適用される、それは、本命題を保証する。
これ以降は、\(J\)はインフィニット（無限）であると仮定しよう。
\(J = \{1, 2, ...\}\)であると仮定しよう、単に私たちの表現たちが便利なように、一般性を失うことなく。
ステップ3:
各\(\sum_{j \in J} s^j\)はコンバージ（収束）しないと仮定しよう。
すると、\(\sum_{j \in J} Inf (S_j)\)はコンバージ（収束）しないことを見よう。
\(a \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt a \lt 1\)を満たす任意のものとしよう。
各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\(p_j \in S_j\)、つまり、\(p_j \lt Inf (S_j) + a^j\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(s \in \times_{j \in J} S_j\)を、各\(j \in J\)に対して\(s^j = p_j\)であるものとしよう。
\(\sum_{j \in J} s^j \le \sum_{j \in J} (Inf (S_j) + a^j) = \sum_{j \in J} Inf (S_j) + \sum_{j \in J} a^j = \sum_{j \in J} Inf (S_j) + a / (1 - a)\)。
したがって、\(\sum_{j \in J} s^j - a / (1 - a) \le \sum_{j \in J} Inf (S_j)\)。
左辺はコンバージ（収束）しないから、右辺はコンバージ（収束）しない。
したがって、\(r \le \sum_{j \in J} Inf (S_j)\)は成立する。
ステップ4:
以下を満たすある\(s \in \times_{j \in J} S_j\)、つまり、\(\sum_{j \in J} s^j\)はコンバージ（収束）する、があると仮定しよう。
\(\sum_{j \in J} Inf (S_j)\)はコンバージ（収束）する、なぜなら、\(Inf (S_j) \le s^j\)。
\(\sum_{j \in J} Inf (S_j) \lt r\)であったと仮定しよう。
\(a \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt a \lt 1\)および\(a / (1 - a) \lt r - \sum_{j \in J} Inf (S_j)\)を満たす任意のものとしよう、それは、明らかに可能であることになる。
各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\(p_j \in S_j\)、つまり、\(p_j \lt Inf (S_j) + a^j\)、があることになる、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(s \in \times_{j \in J} S_j\)を、各\(j \in J\)に対して\(s^j = p_j\)であるものとしよう。
\(\sum_{j \in J} s^j \lt \sum_{j \in J} (Inf (S_j) + a^j) = \sum_{j \in J} Inf (S_j) + \sum_{j \in J} a^j = \sum_{j \in J} Inf (S_j) + a / (1 - a) \lt \sum_{j \in J} Inf (S_j) + r - \sum_{j \in J} Inf (S_j) = r\)、矛盾。
したがって、\(r \le \sum_{j \in J} Inf (S_j)\)。
