リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよび非ネガティブ（負）サブセット（部分集合）たちのカウンタブル（可算）セット（集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計がナンバー（数字）以下である場合、サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計はナンバー（数字）以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義を知っている。
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよびサブセット（部分集合）たちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計が任意のナンバー（数字）以下である場合、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計は当該ナンバー（数字）以下であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよび非ネガティブ（負）サブセット（部分集合）たちの任意のカウンタブル（可算）セット（集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計が任意のナンバー（数字）以下である場合、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計は当該ナンバー（数字）以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つもの }\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq [0, \infty) \vert j \in J\}\):
\(r\): \(\in \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall s \in \times_{j \in J} S_j (\sum_{j \in J} s^j \le r)\)
\(\implies\)
\(\sum_{j \in J} Sup (S_j) \le r\)
//
\(Sup (S_j)\)たちは不可避に存在する。
\(s^j\)たちおよび\(Sup (S_j)\)たちは非ネガティブ（負）であるから、\(\sum_{j \in J}\)の順序は問題でない、よく知られているとおり。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(Sup (S_j)\)が存在することを見る; ステップ2: \(J\)がファイナイト（有限）であるケースに対処し、それ以降、そうでないと仮定する; ステップ3: \(r \lt \sum_{j \in J} Sup (S_j)\)であったと仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
各\(Sup (S_l)\)が存在することを見よう。
各\(p \in S_l\)に対して、\(p \le \sum_{j \in J} s^j \le r\)、ここで、\(s \in \times_{j \in J} S_j\)は、\(p = s^l\)を満たす任意のもの。
したがって、\(S_l\)はアッパーバウンデッド（上に有界）であり、\(Sup (S_l)\)は存在する、なぜなら、\(\mathbb{R}\)の任意のアッパーバウンデッド（上に有界）サブセット（部分集合）はサプリマム（上限）を持つ、よく知られているとおり。
ステップ2:
\(J\)がファイナイト（有限）である時、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよびサブセット（部分集合）たちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計が任意のナンバー（数字）以下である場合、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計は当該ナンバー（数字）以下であるという命題が適用される、それは、本命題を保証する。
これ以降は、\(J\)はインフィニット（無限）であると仮定しよう。
\(J = \{1, 2, ...\}\)であると仮定しよう、単に私たちの表現たちが便利なように、一般性を失うことなく。
ステップ3:
\(\sum_{j \in J} Sup (S_j)\)はコンバージ（収束）する、なぜなら、以下を満たす任意の\(a \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt a \lt 1\)、を取って、各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\(p_j \in S_j\)、つまり、\(Sup (S_j) - a^j \lt p_j\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって、したがって、\(Sup (S_j) \lt p_j + a^j\)、そして、以下を満たす\(s \in \times_{j \in J} S_j\)、つまり、各\(j \in J\)に対して、\(s^j = p_j\)、に対して、\(\sum_{j \in J} Sup (S_j) \le \sum_{j \in J} (s^j + a^j) = \sum_{j \in J} s^j + \sum_{j \in J} a^j = \sum_{j \in J} s^j + a / (1 - a) \lt r + a / (1 - a)\)。
\(r \lt \sum_{j \in J} Sup (S_j)\)であったと仮定しよう。
\(a \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt a \lt 1\)および\(a / (1 - a) \lt \sum_{j \in J} Sup (S_j) - r\)を満たす任意のものとしよう、それは、明らかに可能であることになる。
各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\(p_j \in S_j\)、つまり、\(Sup (S_j) - a^j \lt p_j\)、があることになる、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(s \in \times_{j \in J} S_j\)を、各\(j \in J\)に対して\(s^j = p_j\)であるものとしよう。
\(r \lt \sum_{j \in J} Sup (S_j) - a / (1 - a) = \sum_{j \in J} Sup (S_j) - \sum_{j \in J} a^j = \sum_{j \in J} (Sup (S_j) - a^j) \le \sum_{j \in J} s^j\)、矛盾。
したがって、\(\sum_{j \in J} Sup (S_j) \le r\)。
