プロダクトセット（集合）、サブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロジェクション（射影）は、サブセット（部分集合）たちのプロジェクション（射影）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されるが、必ずしもそれではないことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）、任意のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロジェクション（射影）は、当該サブセット（部分集合）たちのプロジェクション（射影）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されるが、必ずしもそれではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J'\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S'_{j'} \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\} \vert j' \in J'\}\):
\(\times_{j' \in J'} S'_{j'}\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq \times_{j' \in J'} S'_{j'} \vert j \in J\}\):
\(l'\): \(\in J'\)
\(\pi^{l'}\): \(: \times_{j' \in J'} S'_{j'} \to S'_{l'}, f \mapsto f (l')\), \(= \text{ 当該プロジェクション（射影） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\pi^{l'} (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cap_{j \in J} \pi^{l'} (S_j)\)
\(\land\)
\(\text{ 必ずしも以下ではない、つまり、 " } \pi^{l'} (\cap_{j \in J} S_j) = \cap_{j \in J} \pi^{l'} (S_j)\text{ " }\)
//
2: 注
任意のプロダクトセット（集合）、任意のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のプロジェクション（射影）は、当該サブセット（部分集合）たちのプロジェクション（射影）たちのユニオン（和集合）である命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\pi^{l'} (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cap_{j \in J} \pi^{l'} (S_j)\)であることを見る; ステップ2: \(\pi^{l'} (\cap_{j \in J} S_j) \neq \cap_{j \in J} \pi^{l'} (S_j)\)であるあるケースを見る。
ステップ1:
\(s'_{l'} \in \pi^{l'} (\cap_{j \in J} S_j)\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(f \in \cap_{j \in J} S_j\)、つまり、\(\pi^{l'} (f) = f (l') = s'_{l'}\)、がある。
\(f \in S_j\)、各\(j \in J\)に対して。
\(s'_{l'} = \pi^{l'} (f)\)が含意するのは、\(s'_{l'} \in \pi^{l'} (S_j)\)、各\(j \in J\)に対して。
したがって、\(s'_{l'} \in \cap_{j \in J} \pi^{l'} (S_j)\)。
したがって、\(\pi^{l'} (\cap_{j \in J} S_j) \subseteq \cap_{j \in J} \pi^{l'} (S_j)\)。
ステップ2:
\(\pi^{l'} (\cap_{j \in J} S_j) \neq \cap_{j \in J} \pi^{l'} (S_j)\)であるあるケースを見よう。
\(S'_{1'} = \mathbb{R}\)、\(S'_{2'} = \mathbb{R}\)、\(S_1 = B_{(-1, 0), 1}\)、\(S_2 = B_{(1, 0), 1}\)としよう。
すると、\(\cap_{j \in J} S_j = \emptyset\)、したがって、\(\pi^{l'} (\cap_{j \in J} S_j) = \emptyset\)。
しかし、\(\pi^2 (S_1) = (-1, 1)\)および\(\pi^2 (S_2) = (-1, 1)\)、そして、\(\cap_{j \in J} \pi^2 (S_j) = (-1, 1)\)。
