プロダクトセット（集合）、サブセット（部分集合）たち、サブプロダクトの要素に対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロスセクション（断面）はサブセット（部分集合）たちのクロスセクション（断面）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）、任意のサブセット（部分集合）たち、任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）の当該要素によるクロスセクション（断面）は当該サブセット（部分集合）たちの当該要素によるクロスセクション（断面）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J'\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_{j'} \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\} \vert j' \in J'\}\):
\(\times_{j' \in J'} S_{j'}\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\)
\(K\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{Q_k \subseteq \times_{j' \in J'} S_{j'} \vert k \in K\}\):
\(J\): \(\subset J'\)で、\(J \neq \emptyset\)を満たすもの
\(\times_{j \in J} s_j\): \(\in \times_{j \in J} S_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((\cup_{k \in K} Q_k)_{[\times_{j \in J} s_j]} = \cup_{k \in K} ({Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \((\cup_{k \in K} Q_k)_{[\times_{j \in J} s_j]} \subseteq \cup_{k \in K} ({Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]})\)であることを見る; ステップ2: \(\cup_{k \in K} ({Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]}) \subseteq (\cup_{k \in K} Q_k)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in (\cup_{k \in K} Q_k)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)を任意のものとしよう。
\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \in \cup_{k \in K} Q_k\)。
\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \in Q_k\)、ある\(k \in K\)に対して。
したがって、その\(k \in K\)に対して、\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in {Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
したがって、\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in \cup_{k \in K} ({Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]})\)。
したがって、\((\cup_{k \in K} Q_k)_{[\times_{j \in J} s_j]} \subseteq \cup_{k \in K} ({Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]})\)。
ステップ2:
\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in \cup_{k \in K} ({Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]})\)を任意のものとしよう。
\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in {Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]}\)、ある\(k \in K\)に対して。
その\(k \in K\)に対して、\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \in Q_k\)。
したがって、\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \in \cup_{k \in K} Q_k\)。
したがって、\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in (\cup_{k \in K} Q_k)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
したがって、\(\cup_{k \in K} ({Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]}) \subseteq (\cup_{k \in K} Q_k)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
ステップ3:
したがって、\((\cup_{k \in K} Q_k)_{[\times_{j \in J} s_j]} = \cup_{k \in K} ({Q_k}_{[\times_{j \in J} s_j]})\)。
