プロダクトセット（集合）、\(2\)個のサブセット（部分集合）たち、サブプロダクトの要素に対して、第1サブセット（部分集合）マイナス第2サブセット（部分集合）のクロスセクション（断面）は第1サブセット（部分集合）のクロスセクション（断面）マイナス第2サブセット（部分集合）のクロスセクション（断面）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）、任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たち、任意のサブプロダクトの任意の要素に対して、第1サブセット（部分集合）マイナス第2サブセット（部分集合）のクロスセクション（断面）は第1サブセット（部分集合）のクロスセクション（断面）マイナス第2サブセット（部分集合）のクロスセクション（断面）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J'\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_{j'} \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\} \vert j' \in J'\}\):
\(\times_{j' \in J'} S_{j'}\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\)
\(Q_1\): \(\subseteq \times_{j' \in J'} S_{j'}\)
\(Q_2\): \(\subseteq \times_{j' \in J'} S_{j'}\)
\(J\): \(\subset J'\)で、\(J \neq \emptyset\)を満たすもの
\(\times_{j \in J} s_j\): \(\in \times_{j \in J} S_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((Q_1 \setminus Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]} = (Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]} \setminus (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \((Q_1 \setminus Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]} \subseteq (Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]} \setminus (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)であることを見る; ステップ2: \((Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]} \setminus (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]} \subseteq (Q_1 \setminus Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in (Q_1 \setminus Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)を任意のものとしよう。
\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \in Q_1 \setminus Q_2\)。
\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \in Q_1\)および\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \notin Q_2\)。
したがって、\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in (Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)および\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \notin (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
したがって、\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in (Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]} \setminus (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
したがって、\((Q_1 \setminus Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]} \subseteq (Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]} \setminus (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
ステップ2:
\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in (Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]} \setminus (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)を任意のものとしよう。
\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in (Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)および\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \notin (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \in Q_1\)および\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \notin Q_2\)。
したがって、\(\times_{j' \in J'} s_{j'} \in Q_1 \setminus Q_2\)。
したがって、\(\times_{l \in J' \setminus J} s_l \in (Q_1 \setminus Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
したがって、\((Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]} \setminus (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]} \subseteq (Q_1 \setminus Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
ステップ3:
したがって、\((Q_1 \setminus Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]} = (Q_1)_{[\times_{j \in J} s_j]} \setminus (Q_2)_{[\times_{j \in J} s_j]}\)。
