空サブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）は空セット（集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、空サブセット（部分集合）の当該マップ（写像）プリイメージ（前像）は空セット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^{-1} (\emptyset) = \emptyset\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: ある\(p \in f^{-1} (\emptyset)\)があったと仮定して、矛盾を見つける。
ステップ1:
ある\(p \in f^{-1} (\emptyset)\)があったと仮定しよう。
\(f (p) \in \emptyset\)、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）の定義によって。
それは、\(f (p)\)は\(S_2\)上のあるポイントであったということに反する矛盾である。
したがって、\(f^{-1} (\emptyset)\)は要素を持たない、それが意味するのは、\(f^{-1} (\emptyset) = \emptyset\)。
