マップ（写像）およびそのエクステンション（拡張）で拡張されたエリアを元のコドメイン（余域）の外へマップするものに対して、サブセット（部分集合）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）は、サブセット（部分集合）と元のコドメイン（余域）のインターセクション（共通集合）の元のマップ（写像）プリイメージ（前像）とサブセット（部分集合）マイナス元のコドメイン（余域）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）のユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）およびその任意のエクステンション（拡張）で拡張されたエリアを元のコドメイン（余域）の外へマップするものに対して、エクステンション（拡張）コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）は、当該サブセット（部分集合）と元のコドメイン（余域）のインターセクション（共通集合）の元のマップ（写像）プリイメージ（前像）と当該サブセット（部分集合）マイナス元のコドメイン（余域）のエクステンション（拡張）プリイメージ（前像）のユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S'_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq S'_1\)
\(S_2\): \(\subseteq S'_2\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
\(f'\): \(: S'_1 \to S'_2\)で、以下を満たすもの、つまり、\(f' (S'_1 \setminus S_1) \subseteq S'_2 \setminus S_2\)
\(S\): \(\subseteq S'_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f'^{-1} (S) = f^{-1} (S \cap S_2) \cup f'^{-1} (S \setminus S_2)\)
//
2: 注
特に、\(S \subseteq S_2\)である時は、\(f'^{-1} (S) = f^{-1} (S)\)、なぜなら、\(S \cap S_2 = S\)および\(S \setminus S_2 = \emptyset\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f'^{-1} (S) \subseteq f^{-1} (S \cap S_2) \cup f'^{-1} (S \setminus S_2)\)であることを見る; ステップ2: \(f^{-1} (S \cap S_2) \cup f'^{-1} (S \setminus S_2) \subseteq f'^{-1} (S)\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(p \in f'^{-1} (S)\)に対して、\(f' (p) \in S\)、しかし、\(p \in S_1\)または\(p \in S'_1 \setminus S_1\)であるところ、\(p \in S_1\)である時は、\(f' (p) = f (p) \in S \cap S_2\)、したがって、\(p \in f^{-1} (S \cap S_2)\)、そして、\(p \in S'_1 \setminus S_1\)である時は、\(f' (p) \in S \setminus S_2\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (S \setminus S_2)\)、したがって、\(p \in f^{-1} (S \cap S_2) \cup f'^{-1} (S \setminus S_2)\)。
したがって、\(f'^{-1} (S) \subseteq f^{-1} (S \cap S_2) \cup f'^{-1} (S \setminus S_2)\)。
ステップ2:
各\(p \in f^{-1} (S \cap S_2) \cup f'^{-1} (S \setminus S_2)\)に対して、\(p \in f^{-1} (S \cap S_2)\)または\(p \in f'^{-1} (S \setminus S_2)\)であるところ、\(p \in f^{-1} (S \cap S_2)\)である時は、\(f (p) = f' (p) \in S \cap S_2 \subseteq S\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (S)\)、そして、\(p \in f'^{-1} (S \setminus S_2)\)である時は、\(f' (p) \in S \setminus S_2 \subseteq S\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (S)\)。
したがって、\(f^{-1} (S \cap S_2) \cup f'^{-1} (S \setminus S_2) \subseteq f'^{-1} (S)\)。
ステップ3:
したがって、\(f'^{-1} (S) = f^{-1} (S \cap S_2) \cup f'^{-1} (S \setminus S_2)\)。
