セット（集合）でオーダリング（順序）を包含として持つものは、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）でオーダリング（順序）を包含として持つものは、あるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)で、以下を満たすオーダリング（順序）\(\lt\)、つまり、\(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 \lt s_2 \iff s_1 \subset s_2)\)、を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードセット（半順序集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)で\(\lt\)を持つものは、あるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
1) \(\lt\)はイリフレクシブ（反射的でない）である: 各\(s \in S\)に対して、\(s \subset s\)は成立しない、したがって、\(s \lt s\)は成立しない。
2) \(\lt\)はトランジティブ（推移的）である: 以下を満たす各\(s_1, s_2, s_3 \in S\)、つまり、\(s_1 \lt s_2\)および\(s_2 \lt s_3\)、に対して、\(s_1 \subset s_2 \subset s_3\)、それが含意するのは、\(s_1 \subset s_3\)、したがって、\(s_1 \lt s_3\)。
したがって、\(S\)で\(\lt\)を持つものは、あるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）である。
