セット（集合）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のファイナイト（有限）カバー（被覆）に対して、サブカバー（部分被覆）でその各要素が不可欠であるものがあり、サブセット（部分集合）のインフィニット（無限）カバー（被覆）に対して、必ずしも、サブカバー（部分被覆）でその各要素が不可欠であるものはない
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）およびその任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の任意のファイナイト（有限）カバー（被覆）に対して、あるサブカバー（部分被覆）でその各要素が不可欠であるものがあり、当該サブセット（部分集合）のあるインフィニット（無限）カバー（被覆）に対して、必ずしも、サブカバー（部分被覆）でその各要素が不可欠であるものはないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq S'\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq S' \vert j \in J\}\): で、以下を満たすもの、つまり、\(S \subseteq \cup_{j \in J} S_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(J \in \{\text{ 全てのファイナイトセット（有限集合）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists J^` \subseteq J (S \subseteq \cup_{j \in J^`} S_j \land \forall l \in J^` (\lnot S \subseteq \cup_{j \in J^` \setminus \{l\}} S_j))\)
)
(
\(J \in \{\text{ 全てのインフィニットセット（無限集合）たち }\}\)
\(\implies\)
必ずしも以下でない、つまり、"\(\exists J^` \subseteq J (S \subseteq \cup_{j \in J^`} S_j \land \forall l \in J^` (\lnot S \subseteq \cup_{j \in J^` \setminus \{l\}} S_j))\)"
)
//
2: 注
\(J\)をカウンタブル（可算）インフィニット（無限）にしても、結論は全く変わらない。
\(S'\)を任意のトポロジカルスペース（空間）か何かにし、\(\{S_j \subseteq S' \vert j \in J\}\)を\(S\)の任意のオープンカバー（開被覆）か何かにしても、結論は全く変わらない。
任意のカバー（被覆）を、何らかの不必要な要素たちを捨てて、あるサブカバー（部分被覆）に削減してその各要素が不可欠であるようにできると思われるかもしれないが、当該カバー（被覆）がインフィニット（無限）である時は、本当にそうではない、と、本命題は言っている。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J\)はファイナイト（有限）であると仮定する; ステップ2: \(J = \{J_1, ..., J_n\}\)に対して、\(J^`\)を選択する、当該順序にて\(J_j\)を捨てるか捨てないかすることによって; ステップ3: \(J\)はインフィニット（無限）であると仮定する; ステップ4: そうした\(J^`\)がないある例を見る。
ステップ1:
\(J\)はファイナイト（有限）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(J = \{J_1, ..., J_n\}\)としよう。
\(J^`\)を逐次的に変更しよう、\(J_j\)を捨てるか否かを\(J_1, J_2, ..., J_n\)の順序で決定することによって。
第1に、\(J^` = J\)としよう。
\(J_1\)に対して、もしも、\(S \subseteq \cup_{j \in J^` \setminus \{J_1\}} S_j\)が成立場合、\(J^` = J^` \setminus \{J_1\}\)としよう; そうでない場合、\(J^` = J^`\)としよう。
いずれにせよ、\(S \subseteq \cup_{j \in J^`} S_j\)が成立する。
次に、\(J_2\)に対して、もしも、\(S \subseteq \cup_{j \in J^` \setminus \{J_2\}} S_j\)が成立する場合、\(J^` = J^` \setminus \{J_2\}\)としよう; そうでない場合、\(J^` = J^`\)としよう。
いずれにせよ、\(S \subseteq \cup_{j \in J^`} S_j\)が成立する。
等々と続く、\(J_n\)に至るまで。
今や、\(S \subseteq \cup_{j \in J^`} S_j\)が成立する。
各\(l \in J^`\)に対して、\(S \subseteq \cup_{j \in J^` \setminus \{l\}} S_j\)は成立しない、なぜなら、そうでなかったら、\(l\)を捨てるべきか否かを決定するプロセスの中で、\(S \subseteq \cup_{j \in J^` \setminus \{l\}} S_j\)が成立していたことになる、なぜなら、右辺は、最終の\(\cup_{j \in J^` \setminus \{l\}} S_j\)に等しいかそれより大きかった、すると、\(l\)は捨てられていたことになる、\(l\)が最終\(J^`\)内にあったことに反する矛盾。
したがって、\(J^`\)は、本命題に対するコンディションたちを満たすものである。
ステップ3:
\(J\)はインフィニット（無限）であると仮定しよう。
ステップ4:
そうした\(J^`\)が無いある例を見よう。
\(S' = \mathbb{R}\)、\(S = (-1, 1)\)、\(J = \mathbb{N}\)、\(S_j = (-1 + (1 / 2)^{j + 1}, 1 - (1 / 2)^{j + 1})\)としよう。
\(S \subseteq \cup_{j \in J} S_j\)、なぜなら、各\(s \in S\)に対して、以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(s \in S_j = (-1 + (1 / 2)^{j + 1}, 1 - (1 / 2)^{j + 1})\)、がある、なぜなら、\(-1 + (1 / 2)^{j + 1}\)は\(-1\)へ漸近し、\(1 - (1 / 2)^{j + 1})\)は\(1\)へ漸近する。
しかし、そうした\(J^`\)は無い、なぜなら、そうした任意の\(J^`\)は少なくとも\(1\)個の要素\(l \in J^`\)を持つことになるが、\(S_l\)は\(S\)をカバーしなかったので、\(J^`\)は少なくとも別の以下を満たす\(l' \in J^`\)、つまり、\(l \lt l'\)、を持つことになる、そして、\(S \subseteq \cup_{j \in J^`} S_j\)が成立する限り、\(S \subseteq \cup_{j \in J^` \setminus \{l\}} S_j\)は成立する、なぜなら、\(S_l \subseteq S_{l'}\)であるから、\(\cup_{j \in J^` \setminus \{l\}} S_j = \cup_{j \in J^`} S_j\)。
当該例が示すとおり、\(J\)がアンカウンタブル（不可算）インフィニット（無限）でなくカウンタブル（可算）インフィニット（無限）である時も、\(J^`\)は存在しないかもしれない。
\(S'\)は、当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間）とみなすことができ、\(\{S_j \subseteq S' \vert j \in J\}\)は、\(S\)のあるオープンカバー（開被覆）とみなすことができるが、それは、\(J^`\)が存在しないという結論を全く変えない。
