リアルナンバー（実数）より大きく別のリアルナンバー（実数）以下であるラショナルナンバー（有理数）をシステマチックに選ぶある方法の記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、ラショナルナンバー（有理数）たちセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアルナンバー（実数）より大きく別の任意のリアルナンバー（実数）以下であるあるラショナルナンバー（有理数）をシステマチックに選ぶある方法の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(r_1\): \(\in \mathbb{R}\)
\(r_2\): \(\in \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(r_1 \lt r_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(q\)を以下のように選ぶ:
\(r_1\)および\(r_2\)を、小数表示たちで最後に'999...'を持たないものたちとして表わす
\(0 \le r_2\)である時は、\(r_1 \lt 0\)である時は、\(q = 0\)を取る、そうでない時は、\(r_1\)と\(r_2\)が不一致な第1の桁を取り、\(q\)を、\(r_2\)の後続の桁たちを切り捨てたものとする
\(r_2 \lt 0\)である時は、\(r_1\)と\(r_2\)が不一致な第1の桁を取り、\(r_2\)のその後の'9'でない第1の桁を取り、\(q\)を、\(r_2\)の当該桁を\(1\)増やして後続の桁たちを切り捨てたものとする
\(\implies\)
\(q\)は、\(q \in \mathbb{Q} \land r_1 \lt q \le r_2\)を満たすようにシステマチックに選ばれた
//
2: 注
\(Max (\{q \in \mathbb{Q} \vert q \le r_2\})\)のようにはできない、なぜなら、そうしたマキシマム（最大）は存在しないかもしれない: \(r_2 = \sqrt{2}\)である時、当該マキシマム（最大）は何であるか？\(Sup (\{q \in \mathbb{Q} \vert q \le r_2\})\)のようにはできない、なぜなら、そうしたサプリマム（上限）は\(\mathbb{Q}\)内には存在しないかもしれない、\(\mathbb{R}\)内には存在するかもしれないが: \(r_2 = \sqrt{2}\)である時、\(\mathbb{Q}\)内におけるサプリマム（上限）は何であるか？
何らかファイナイト（有限）数のペアたち\((r_{1, 1}, r_{1, 2}), ..., (r_{n, 1}, r_{n, 2})\)のみを持っている時は、何らかのラショナルナンバー（有理数）たち\(r_{1, 1} \lt q_1 \le r_{1, 2}, ..., r_{n, 1} \lt q_n \le r_{n, 2}\)を選べると即、主張できる。しかし、インフィニット（無限）数（アンカウンタブル（不可算）かもしれない）のペアたち\(\{(r_{j, 1}, r_{j, 2}) \vert j \in J\}\)を持っている時は、各\(j \in J\)に対して\(r_{j, 1} \lt q_j \le r_{j, 2}\)を満たすある\(q_j \in \mathbb{Q}\)を選べると主張することに異議があり得る。チョイス（選択）公理を運用することができるかもしれないが、それ無しで行なおう。もしも、任意の\((r_1, r_2)\)に対してある\(q\)を選ぶあるシステマチックな方法があれば、各\(j \in J\)に対して\(r_{j, 1} \lt q_j \le r_{j, 2}\)を満たすある\(q_j \in \mathbb{Q}\)をその方法によって選べると主張することができる。
勿論、多くの他の方法たちがあり得る、しかし、ある方法を提示するだけで、各\(j \in J\)に対してある \(q_j \in \mathbb{Q}\)を選べると主張するという私たちの目的にとって十分である
\(q\)は、\(q \in \mathbb{Q} \land r_1 \lt q \lt r_2\)を満たすようにシステマチックに選ぶこともできる、なぜなら、\((r_1 + r_2) / 2\)を取り\(r_1 \lt q \le (r_1 + r_2) / 2 \lt r_2\)を取り、本命題を適用することができる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(r_1\)および\(r_2\)を、小数表示たちで最後に'999...'を持たないものたちとして表わす; ステップ2: \(0 \le r_2\)である時は、\(q\)を、"ステートメント（言明）たち"内で言及されたように取り、\(q \in \mathbb{Q}\)および\(r_1 \lt q \le r_2\)であることを見る; ステップ3: \(r_2 \lt 0\)である時は、\(q\)を、"ステートメント（言明）たち"内で言及されたように取り、\(q \in \mathbb{Q}\)および\(r_1 \lt q \le r_2\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(r_1\)および\(r_2\)を、小数表示たちで最後に'999...'を持たないものたちとして表わす（例えば、'12.3'、'12.2999...'ではなくて）、それは、当該表現たちをユニークにする。ある小数表示がファイナイト（有限）である時は、当該小数表示に後続する'000...'を持たせよう。
ステップ2:
\(0 \le r_2\)であると仮定しよう。
\(r_1 \lt 0\)または\(0 \le r_1\)。
\(r_1 \lt 0\)である時は、\(q = 0\)としよう。
すると、\(q \in \mathbb{Q}\)および\(r_0 \lt q \le r_2\)。
\(0 \le r_1\)であると仮定しよう。
\(r_1\)と\(r_2\)が不一致な第1の桁がある。
\(q\)を、\(r_2\)の後続の桁たちを切り捨てたものとしよう。
すると、\(q \in \mathbb{Q}\)、なぜなら、それは、当該ファイナイト（有限）小数表示を持つ、そして、\(r_1 \lt q \le r_2\)、明らかに。
ある例は、\(r_1 = 12.344678..., r_2 = 12.345678...\)、そして、\(q = 12.345\)。
ステップ3:
\(r_2 \lt 0\)であると仮定しよう。
\(r_1\)と\(r_2\)が不一致な第1桁がある。
\(r_2\)のその後の'9'でない第1の桁がある（なぜなら、当該小数表示は最後の'999...'を持たない）。
\(q\)を、\(r_2\)の当該桁を\(1\)増やして後続の桁たちを切り捨てたものとしよう。
すると、\(q \in \mathbb{Q}\)、なぜなら、それは、当該ファイナイト（有限）小数表示を持つ、そして、\(r_1 \lt q \le r_2\)、なぜなら、当該不一致桁は変更されていないから、\(r_1 \lt q\)が成立する。
ある例は、\(r_1 = - 12.346678..., r_2 = - 12.3459678...\)、そして、\(q = - 12.34597\)。
ステップ4:
\(q\)は、いかなる恣意性も無く定義されて\(q \in \mathbb{Q} \land r_1 \lt q \le r_2\)を満たす。
