（カウンタブル（可算）に）コンパクトメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、非コンバージェント（収束する）シーケンス（列）は、\(1\)個より多いポイントたちでそれらへサブシーケンス（部分列）たちがコンバージ（収束）するものたちを持つことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、カウンタブル（可算）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、シーケンス（列）のサブシーケンス（部分列）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、それがカウンタブル（可算）にコンパクトである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはファーストカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はシーケンシャル（列的）にコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブル（可算）にコンパクトである場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）に対して、もしも、その上の各シーケンス（列）があるコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、その上のナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）からの各シーケンス（列）はあるコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の（カウンタブル（可算）に）コンパクトメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意の非コンバージェント（収束する）シーケンス（列）は、\(1\)個より多いポイントたちでそれらへ何らかのサブシーケンス（部分列）たちがコンバージ（収束）するものたちを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）にコンパクトなメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(s\): \(: J \to M\), \(\in \text{ 全てのシーケンス（列）たち }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(s \notin \{\text{ 全てのコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists s^`, \widetilde{s^`} \in \{s \text{ の全てのコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）たち }\} (lim s^` \neq lim \widetilde{s^`})\)
//
もしも、\(M\)がコンパクトである場合、\(M\)はカウンタブル（可算）にコンパクトである、メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、それがカウンタブル（可算）にコンパクトである場合、そしてその場合に限って、という命題によって、したがって、\(M\)をコンパクトと要求してもよい。
2: 注
\(2\)個より多いポイントたちでそれらへ何らかのサブシーケンス（部分列）たちがコンバージ（収束）するものたちは無いかもしれない。
例えば、\(M = [-1, 1]\)、\(s: \mathbb{N} \to [-1, 1], n \mapsto - 1 / 2 \text{ when } n \text{ is even }; \mapsto 1 / 2 \text{ when } n \text{ is odd }\)としよう、すると、\(s\)はコンバージェント（収束する）でない、そして、あるサブシーケンス（部分列）で\(- 1 / 2\)へコンバージ（収束）するものおよびあるサブシーケンス（部分列）で\(1 / 2\)へコンバージ（収束）するものがある、しかし、他のポイントでそれへあるサブシーケンス（部分列）がコンバージ（収束）するものは無い。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M\)はコンパクトであることを見る; ステップ2: \(M\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトであることを見る; ステップ3: \(s\)の以下を満たす任意のコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）\(s^`\)、つまり、\(lim s^` = m\)、を取る; ステップ4: 各\(\epsilon\)に対して、\(M\)のあるファイナイト（有限）オープンカバー（開被覆）\(\{B_{m, \epsilon}\} \cup \{B_{m_j, \epsilon / 2} \vert j \in J\}\)を取り、ある\(\epsilon\)に対して、ある\(B_{m_j, \epsilon / 2}\)は\(s\)の何らかインフィニット（無限）数ポイントたち、それは、\(s\)のサブシーケンス（部分列）\(\widetilde{s^`}'\)を決定する、を包含することを見る; ステップ5: \(\widetilde{s^`}'\)のあるコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）\(\widetilde{s^`}\)を取る。
ステップ1:
\(M\)はコンパクトである、メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、それがカウンタブル（可算）にコンパクトである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
実のところ、\(M\)をコンパクトであるよう要求してもよい、なぜなら、すると、\(M\)カウンタブル（可算）にコンパクトである。
ステップ2:
\(M\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトである、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはファーストカウンタブル（可算）であるという命題および任意のファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はシーケンシャル（列的）にコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブル（可算）にコンパクトである場合、という命題によって。
ステップ3:
\(s\)のあるコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）\(s^`: J^` \to M\)、\(m := lim s^`\)を持って、がある、なぜなら、\(M\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトである: 任意のメトリックスペース（計量付き空間）に対して、もしも、その上の各シーケンス（列）があるコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、その上のナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）からの各シーケンス（列）はあるコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）を持つという命題によって。
ステップ4:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
\(M\)のオープンカバー（開被覆）\(\{B_{m, \epsilon}\} \cup \{B_{m_j, \epsilon / 2} \vert m_j \in M \setminus B_{m, \epsilon}\}\)を取ろう。
それは、本当に、あるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、各\(m' \in M\)に対して、\(m' \in B_{m, \epsilon}\)または\(m' \in M \setminus B_{m, \epsilon}\)、しかし、\(m' \in M \setminus B_{m, \epsilon}\)である時は、\(m' \in B_{m_j, \epsilon / 2}\)、ここで、\(m_j = m'\)。
\(M\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{B_{m, \epsilon}\} \cup \{B_{m_j, \epsilon / 2} \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、がある。
もしも、各\(\epsilon\)に対して、\(\{B_{m_j, \epsilon / 2} \vert j \in J\}\)の各要素が\(s\)の何らかファイナイト（有限）数ポイントたちのみを包含していた場合、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(s (J_n) \in B_{m, \epsilon}\)、があることになる、それが意味することになるのは、\(dist (m, s (J_n)) \lt \epsilon\)、それが意味することになるのは、\(s\)は\(m\)へコンバージ（収束）したということ、\(s\)はコンバージェント（収束する）でなかったことに反する矛盾。
したがって、以下を満たすある\(\epsilon\)、つまり、ある\(B_{m_j, \epsilon / 2}\)は\(s\)の何らかのインフィニット（無限）数ポイントたちを包含する、がある。
それは、\(s\)のサブシーケンス（部分列）\(\widetilde{s^`}': {J^`}' \to M = s \circ f'\)、ここで、\({J^`}' = \{j^` \in J \vert s (j^`) \in B_{m_j, \epsilon / 2}\}\)および\(f': {J^`}' \to J, j^` \to j^`\)、を決定する、それは、本当に、\(s\)のあるサブシーケンス（部分列）である、なぜなら、\(j^`_1 \lt j^`_2\)を満たす各\(j^`_1, j^`_2 \in {J^`}'\)に対して、\(f' (j^`_1) = j^`_1 \lt j^`_2 = f' (j^`_2)\)、そして、各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\(j^` \in {J^`}'\)、つまり、\(j \le j^` = f' (j^`)\)、がある、なぜなら、\({J^`}'\)はインフィニット（無限）である。
ステップ5:
\(\widetilde{s^`}'\)のあるコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）\(\widetilde{s^`}: J^` \to M = \widetilde{s^`}' \circ f\)で\(lim \widetilde{s^`} = \widetilde{m}\)を持つものがある、なぜなら、\(M\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトである。
\(\widetilde{s^`} = \widetilde{s^`}' \circ f = s \circ f' \circ f\)は\(s\)のあるサブシーケンス（部分列）である、なぜなら、\(j^`_1 \lt j^`_2\) を満たす各\(j^`_1, j^`_2 \in J^`\)に対して、\(f' \circ f (j^`_1) \lt f' \circ f (j^`_2)\)、なぜなら、\(f (j^`_1) \lt f (j^`_2)\)、したがって、\(f' \circ f (j^`_1) \lt f' \circ f (j^`_2)\)、そして、各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\({j^`}' \in {J^`}'\)、つまり、\(j \le f' ({j^`}')\)、があり、以下を満たすある\(j^` \in J^`\)、つまり、\({j^`}' \le f (j^`)\)、がある、したがって、\(j \le f' ({j^`}') \le f' \circ f (j^`)\)。
\(dist (\widetilde{m}, m_j) \le \epsilon / 2\)、なぜなら、\(0 \lt \epsilon'\)を満たす各\(\epsilon' \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(dist (\widetilde{m}, \widetilde{s^`} ({J^`}_n)) \lt \epsilon'\)、がある、なぜなら、\(\widetilde{s^`}\)は\(\widetilde{m}\)へコンバージ（収束）し、\(dist (\widetilde{m}, m_j) \le dist (\widetilde{m}, \widetilde{s^`} ({J^`}_n)) + dist (\widetilde{s^`} ({J^`}_n), m_j) \lt \epsilon' + \epsilon / 2\)、したがって、\(dist (\widetilde{m}, m_j) \le \epsilon / 2\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
\(\epsilon \lt dist (m, m_j) \le dist (m, \widetilde{m}) + dist (\widetilde{m}, m_j) \le dist (m, \widetilde{m}) + \epsilon / 2\)、したがって、\(\epsilon / 2 = \epsilon - \epsilon / 2 \lt dist (m, \widetilde{m})\)。
したがって、\(m \neq \widetilde{m}\)。
したがって、少なくとも何らか\(2\)個のサブシーケンス（部分列）たち\(s^`\)および\(\widetilde{s^`}\)で\(lim s^` \neq lim \widetilde{s^`}\)を満たすものたちがある。
