パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のインフィニット（無限）シーケンス（列）およびセット（集合）の要素に対して、もしも、任意に大きいインデックスでその値が要素以下であるものがある場合、リミットインフェリア（下極限）は要素以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）上の任意のインフィニット（無限）シーケンス（列）および当該セット（集合）の任意の要素に対して、もしも、リミットインフェリア（下極限）が存在し、任意に大きいインデックスでその値が当該要素以下であるものがある場合、リミットインフェリア（下極限）は当該要素以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\vert J \vert = \infty\)
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードセット（半順序集合）たち }\}\)で、任意のパーシャルオーダリング（半順序）\(\lt\)を持つもの
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq S\)
\(s'\): \(\in S\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists lim inf s \land \forall j \in J (\exists j' \in J \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j \lt j' (s (j) \le s'))\)
\(\implies\)
\(lim inf s \le s'\)
//
2: 注
もしも、\(J\)がファイナイト（有限）である場合、それは、単に、\(s (J_{\vert J \vert}) \le s'\)、もしも、\(lim inf s \le s'\)である場合、そしてその場合に限って、というものになる、なぜなら、\(lim inf s = s (J_{\vert J \vert})\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim inf s \le s'\)であることを見る。
ステップ1:
\(lim inf s = Sup (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)。
各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(m \lt n\)および\(s (J_n) \le s'\)、がある、当該仮定によって。
したがって、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le s (J_n) \le s'\)。
したがって、\(s' \in Ub (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)。
したがって、\(lim inf s = Sup (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}) = Min (Ub (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}))) \le s'\)。
