リニアリーオーダードセット（線形順序集合）および\(2\)個の要素たちに対して、要素は第1要素より大きく第2要素より大きい、もしも、要素は\(2\)個の要素たちのマキシマム（最大）より大きい場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアリーオーダードセット（線形順序集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意の\(2\)個の要素たちに対して、任意の要素は第1要素より大きく第2要素より大きい、もしも、当該要素は\(2\)個の要素たちのマキシマム（最大）より大きい場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのリニアリーオーダードセット（線形順序集合）たち }\}\)
\(s_1\): \(\in S \cup \{- \infty\}\)
\(s'_1\): \(\in S \cup \{- \infty\}\)
\(s\): \(\in S\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(s_1 \lt s \land s'_1 \lt s\)
\(\iff\)
\(Max (\{s_1, s'_1\}) \lt s\)
//
\(- \infty \lt s\)および\(- \infty \le s\)の各々は、\(s\)はそれによって制限されないことを意味する; \(Max (\{- \infty, s\}) := s\)および\(Max (\{- \infty, - \infty\}) := - \infty\)。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s_1 \lt s \land s'_1 \lt s\)であると仮定する; ステップ2: \(Max (\{s_1, s'_1\}) \lt s\)であることを見る; ステップ3: \(Max (\{s_1, s'_1\}) \lt s\)であると仮定する; ステップ4: \(s_1 \lt s \land s'_1 \lt s\)であることを見る。
ステップ1:
\(s_1 \lt s \land s'_1 \lt s\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(Max (\{s_1, s'_1\}) = s_1 \text{ または } s'_1\)。
\(Max (\{s_1, s'_1\}) = s_1\)である時は、\(Max (\{s_1, s'_1\}) = s_1 \lt s\)。
\(Max (\{s_1, s'_1\}) = s'_1\)である時は、\(Max (\{s_1, s'_1\}) = s'_1 \lt s\)。
したがって、\(Max (\{s_1, s'_1\}) \lt s\)、いずれにせよ。
ステップ3:
\(Max (\{s_1, s'_1\}) \lt s\)であると仮定しよう。
ステップ4:
\(s_1 = s'_1 = - \infty\)である時は、\(s_1 \lt s \land s'_1 \lt s\)。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
\(s_1, s'_1 \le Max (\{s_1, s'_1\}) \lt s\)。
したがって、\(s_1 \lt s \land s'_1 \lt s\)。
