リニアリーオーダードセット（線形順序集合）および\(2\)個の要素たちに対して、要素は第1要素より小さく第2要素以下である、もしも、これである場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアリーオーダードセット（線形順序集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意の\(2\)個の要素たちに対して、任意の要素は第1要素より小さく第2要素以下である、もしも、（第1要素は第2要素以下であり当該要素は第2要素より小さい）または（第2要素は第1要素より小さく当該要素は第2要素以下である)である場合、そして、その場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのリニアリーオーダードセット（線形順序集合）たち }\}\)
\(s_2\): \(\in S \cup \{\infty\}\)
\(s'_2\): \(\in S\)
\(s\): \(\in S\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(s \lt s_2 \land s \le s'_2\)
\(\iff\)
\((s_2 \le s'_2 \land s \lt s_2) \lor (s'_2 \lt s_2 \land s \le s'_2)\)
//
\(s \lt \infty\)は、\(s\)はそれによって制限されないことを意味する; \(\infty \le s'_2\)は決して成立しない。
2: 注
\(s \lt s_2 \land s \lt s'_2\)は、扱いやすい、\(s \lt Min (\{s_2, s'_2\})\)として、そして、\(s \le s_2 \land s \le s'_2\)は、扱いやすい、\(s \le Min (\{s_2, s'_2\})\)として。
しかし、\(s \lt s_2 \land s \le s'_2\)は、いくぶんか扱いにくく、\((s_2 \le s'_2 \land s \lt s_2) \lor (s'_2 \lt s_2 \land s \le s'_2)\)は、時により、より扱いやすい。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s \lt s_2 \land s \le s'_2\)であると仮定する; ステップ2: \((s_2 \le s'_2 \land s \lt s_2) \lor (s'_2 \lt s_2 \land s \le s'_2)\)であることを見る; ステップ3: \((s_2 \le s'_2 \land s \lt s_2) \lor (s'_2 \lt s_2 \land s \le s'_2)\)であると仮定する; ステップ4: \(s \lt s_2 \land s \le s'_2\)であることを見る。
ステップ1:
\(s \lt s_2 \land s \le s'_2\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(s_2 \le s'_2\)または\(s'_2 \lt s_2\)。
\(s_2 \le s'_2\)である時は、\(s \lt s_2\)。
\(s'_2 \lt s_2\)である時は、\(s \le s'_2\)。
したがって、\((s_2 \le s'_2 \land s \lt s_2) \lor (s'_2 \lt s_2 \land s \le s'_2)\)。
ステップ3:
\((s_2 \le s'_2 \land s \lt s_2) \lor (s'_2 \lt s_2 \land s \le s'_2)\)であると仮定しよう。
ステップ4:
\(s_2 \le s'_2 \land s \lt s_2\)である時は、\(s \lt s_2 \le s'_2\)、したがって、\(s \lt s'_2\)、したがって、\(s \le s'_2\)、したがって、\(s \lt s_2 \land s \le s'_2\)。
\(s'_2 \lt s_2 \land s \le s'_2\)である時は、\(s \le s'_2 \lt s_2\)、したがって、\(s \lt s_2\)、したがって、\(s \lt s_2 \land s \le s'_2\)。
したがって、\(s \lt s_2 \land s \le s'_2\)、いずれにせよ。
