リニアリーオーダードセット（線形順序集合）および\(2\)個の要素たちに対して、要素は第1要素より小さく第2要素より小さい、もしも、要素は\(2\)個の要素たちのミニマム（最小）より小さい場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアリーオーダードセット（線形順序集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意の\(2\)個の要素たちに対して、任意の要素は第1要素より小さく第2要素より小さい、もしも、当該要素は\(2\)個の要素たちのミニマム（最小）より小さい場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのリニアリーオーダードセット（線形順序集合）たち }\}\)
\(s_2\): \(\in S \cup \{\infty\}\)
\(s'_2\): \(\in S \cup \{\infty\}\)
\(s\): \(\in S\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(s \lt s_2 \land s \lt s'_2\)
\(\iff\)
\(s \lt Min (\{s_2, s'_2\})\)
//
\(s \lt \infty\)および\(s \le \infty\)の各々は、\(s\)はそれによって制限されないことを意味する; \(Max (\{\infty, s\}) := s\)および\(Max (\{\infty, \infty\}) := \infty\)。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s \lt s_2 \land s \lt s'_2\)であると仮定する; ステップ2: \(s \lt Min (\{s_2, s'_2\})\)であることを見る; ステップ3: \(s \lt Min (\{s_2, s'_2\})\)であると仮定する; ステップ4: \(s \lt s_2 \land s \lt s'_2\)であることを見る。
ステップ1:
\(s \lt s_2 \land s \lt s'_2\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(Min (\{s_2, s'_2\}) = s_2 \text{ or } s'_2\)。
\(Min (\{s_2, s'_2\}) = s_2\)である時は、\(s \lt s_2 = Min (\{s_2, s'_2\})\)。
\(Min (\{s_2, s'_2\}) = s'_2\)である時は、\(s \lt s'_2 = Min (\{s_2, s'_2\})\)。
したがって、\(s \lt Min (\{s_2, s'_2\})\)、いずれにせよ。
ステップ3:
\(s \lt Min (\{s_2, s'_2\})\)であると仮定しよう。
ステップ4:
\(s_2 = s'_2 = \infty\)である時は、\(s \lt s_2 \land s \lt s'_2\)。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
\(s \lt Min (\{s_2, s'_2\}) \le s_2, s'_2\)。
したがって、\(s \lt s_2 \land s \lt s'_2\)。
