セット（集合）でイクイバレンスリレーション（同値関係）を持つもののサブセット（部分集合）のサチュレーション（飽和）はサブセット（部分集合）である、もしも、サブセット（部分集合）はイクイバレンスリレーション（同値）クラスたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）で任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものの任意のサブセット（部分集合）のサチュレーション（飽和）は当該サブセット（部分集合）である、もしも、当該サブセット（部分集合）は何らかのイクイバレンスリレーション（同値）クラスたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)で、任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）\(\sim'\)を持つもの
\(S\): \(\subseteq S'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Sat (S, \sim') = S\)
\(\iff\)
\(\exists \widetilde{S} \subseteq S' / \sim' (S = \cup \widetilde{S})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Sat (S, \sim') = S\)であると仮定する; ステップ2: \(S\)は何らかのイクイバレンス（同値）クラスたちのユニオン（和集合）であることを見る; ステップ3: \(S\)は何らかのイクイバレンス（同値）クラスたちのユニオン（和集合）であると仮定する; ステップ4: \(Sat (S, \sim') = S\)であることを見る。
ステップ1:
\(Sat (S, \sim') = S\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(s \in S\)を任意のものとしよう。
\([s]' \subseteq S\)、なぜなら、そうでなかったら、ある\(s' \in [s]' \setminus S\)があることになる、したがって、\(s' \sim' s\)、したがって、\(s' \in Sat (S, \sim')\)、その一方で、\(s' \notin S\)、\(Sat (S, \sim') = S\)に反する矛盾。
すると、\(S = \cup_{s \in S} [s]'\)、なぜなら、各\(s \in S\)に対して、\(s \in \cup_{s \in S} [s]'\); 各\(s' \in \cup_{s \in S} [s]'\)に対して、\(s' \in [s]'\)、ある\(s \in S\)に対して、しかし、\([s]' \subseteq S\)、上記に見られたとおり、したがって、\(s' \in [s]' \subseteq S\)。
したがって、\(\widetilde{S} := \{[s]' \vert s \in S\} \subseteq S' / \sim'\)に対して、\(S = \cup \widetilde{S}\): 勿論、\(\{[s]' \vert s \in S\}\)は何らかの重複たちを持つかもしれない。
ステップ3:
\(S\)は何らかのイクイバレンス（同値）クラスたちのユニオン（和集合）であると仮定しよう: \(S = \cup \widetilde{S}\)。
ステップ4:
各\(s' \in S' \setminus S\)に対して、\(s' \notin Sat (S, \sim')\)（したがって、\(s' \in S' \setminus Sat (S, \sim')\)）、なぜなら、そうでなかったら、以下を満たすある\(s \in S\)、つまり、\(s \sim' s'\)、があることになる、それが意味することになるのは、\(s' \in [s]'\)、したがって、\([s]' \notin \widetilde{S}\)、なぜなら、そうでなかったら、\(\cup \widetilde{S}\)は\(s' \notin S\)を包含することになる、\(S = \cup \widetilde{S}\)に反する矛盾、しかし、\([s]' \in \widetilde{S}\)、なぜなら、そうでなかったら、\(s \notin \cup \widetilde{S} = S\)、なぜなら、\(S' / \sim'\)は\(S'\)のあるパーティションであった、矛盾、\([s]' \notin \widetilde{S}\)に反する矛盾。
したがって、\(S' \setminus S \subseteq S' \setminus Sat (S, \sim')\)、したがって、\(Sat (S, \sim') \subseteq S\)。
\(S \subseteq Sat (S, \sim')\)である、セット（集合）でイクイバレンスリレーション（同値関係）を持つもののサブセット（部分集合）のサチュレーション（飽和）の定義に対する"注"内に言及されているとおり、から、\(Sat (S, \sim') = S\)。
