セット（集合）たちのインデックス付けされたセット（集合）およびインデックス付けされたセット（集合）のディスジョインテッド（互いに素化された）ユニオン（和集合）に対して、ディスジョインテッド（互いに素化された）ユニオン（和集合）によるインターセクション（共通集合）は、インデックス付けされたセット（集合）の要素たちによるインターセクション（共通集合）たちの後にインデックスによるインターセクション（共通集合）を取ったものであることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の、セット（集合）たちのインデックス付けされたセット（集合）および当該インデックス付けされたセット（集合）のディスジョインテッド（互いに素化された）ユニオン（和集合）に対して、当該ディスジョインテッド（互いに素化された）ユニオン（和集合）によるインターセクション（共通集合）は、当該インデックス付けされたセット（集合）の要素たちによるインターセクション（共通集合）たちの後に当該インデックスによるインターセクション（共通集合）を取ったものであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{L_j \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\}_{j \in J}\): \(\in \{\text{ 全てのインデックス付けされたセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_{j, l_j} \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\}_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cap_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j} S_{j, l_j} = \cap_{j \in J} \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that for each \(p \in \cap_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j} S_{j, l_j}\), \(p \in \cap_{j \in J} \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\); Step 2: see that for each \(p \in \cap_{j \in J} \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\) , \(p \in \cap_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j} S_{j, l_j}\); Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
Let \(p \in \cap_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j} S_{j, l_j}\) be any.
\(p \in S_{j, l_j}\) for each \((j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j\).
\(p \in S_{j, l_j}\) for each \((j, l_j) \in \{j\} \times L_j\) for each \(j \in J\), because \((j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j\).
So, \(p \in \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\) for each \(j \in J\), because \(p \in S_{j, l_j}\) for each \((j, l_j) \in \{j\} \times L_j\), so, \(p \in S_{j, l_j}\) for each \(l_j \in L_j\).
So, \(p \in \cap_{j \in J} \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\).
So, \(\cap_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j} S_{j, l_j} \subseteq \cap_{j \in J} \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\).
Step 2:
Let \(p \in \cap_{j \in J} \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\) be any.
\(p \in \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\) for each \(j \in J\).
\(p \in S_{j, l_j}\) for each \(j \in J\) and each \(l_j \in L_j\).
So, \(p \in S_{j, l_j}\) for each \((j, l_j) \in \{j\} \times L_j\).
So, \(p \in S_{j, l_j}\) for each \((j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j\).
So, \(p \in \cap_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j} S_{j, l_j}\).
So, \(\cap_{j \in J} \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j} \subseteq \cap_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j} S_{j, l_j}\).
Step 3:
So, \(\cap_{(j, l_j) \in \cup_{j \in J} \{j\} \times L_j} S_{j, l_j} = \cap_{j \in J} \cap_{l_j \in L_j} S_{j, l_j}\).
