リング（環）はカノニカル（正典）にモジュール（加群）で、\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つことの記述/証明
話題
About: リング（環）
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）はカノニカル（正典）にあるモジュール（加群）で、ある\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)で、アディション（加法）\(+: R \times R \to R, (r_1, r_2) \mapsto r_1 + r_2\)およびスカラーマルチプリケーション（乗法）\(.: R \times R \to R, (r_1, r_2) \mapsto r_1 r_2\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(R \in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(\land\)
\(\{1\} \in \{ R \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(R\) satisfies the conditions to be an \(R\) module; Step 2: see that \(\{1\}\) is a basis for the module, \(R\).
Step 1:
Let us see that \(R\) satisfies the conditions to be an \(R\) module.
1) \(\forall r_1, r_2 \in R (r_1 + r_2 \in R)\) (closed-ness under addition): because \(R\) is a ring, which is an Abelian group under addition.
2) \(\forall r_1, r_2 \in R (r_1 + r_2 = r_2 + r_1)\) (commutativity of addition): because \(R\) is a ring, which is an Abelian group under addition.
3) \(\forall r_1, r_2, r_3 \in R ((r_1 + r_2) + r_3 = r_1 + (r_2 + r_3))\) (associativity of additions): because \(R\) is a ring, which is an Abelian group under addition.
4) \(\exists 0 \in R (\forall r \in R (r + 0 = r))\) (existence of 0 element): because \(R\) is a ring, which is an Abelian group under addition.
5) \(\forall r \in R (\exists r' \in R (r' + r = 0))\) (existence of inverse element): because \(R\) is a ring, which is an Abelian group under addition.
6) \(\forall r \in R, \forall r' \in R (r . r' \in R)\) (closed-ness under scalar multiplication): because \(R\) is a ring, which is a monoid under multiplication.
7) \(\forall r \in R, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 + r_2) . r = r_1 . r + r_2 . r)\) (scalar multiplication distributability for scalars addition): because \(R\) is a ring.
8) \(\forall r_1, r_2 \in R, \forall r \in R (r . (r_1 + r_2) = r . r_1 + r . r_2)\) (scalar multiplication distributability for elements addition): because \(R\) is a ring.
9) \(\forall r \in R, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 r_2) . r = r_1 . (r_2 . r))\) (associativity of scalar multiplications): because \(R\) is a ring, which is a monoid under multiplication.
10) \(\forall r \in R (1 . r = r)\) (identity of 1 multiplication): because \(R\) is a ring, which is a monoid under multiplication.
So, \(R\) is an \(R\) module.
Step 2:
\(\{1\} \subseteq R\) is linearly independent, because for \(r 1 = 0\), \(r 1 = r\), so, \(r = 0\).
For each \(r \in R\), \(r = r 1\).
So, \(\{1\}\) is a basis for the \(R\) module, \(R\).
