626: モジュール（加群）のベーシス（基底）

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モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義

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話題

About: モジュール（加群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
• 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$M$: $\in \{R\text{ 上方の全てのモジュール（加群）たち }\}$
$\ast B$: $\subseteq M$, $\in \{M\text{ の全ての（アンカウンタブル（不可算）かもしれない）リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }p\in M(\mathrm{\exists }S\in \{B\text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\},\mathrm{\exists }{r}^j\in R(p=\sum _{b_j\in S}{r}^j{b}_j))$
//

$S$は$B$のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）でなければならない、なぜなら、そうでなければ、$p=\sum _{b_j\in S}{r}^j{b}_j$は、$M$にノルムが備わっていないのに、意味をなさないだろう: インフィニット（無限）シリーズ（級数）のコンバージェンス（収束）の定義はノルムを要求する。

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2: 自然言語記述

任意のリング（環）$R$、$R$上方の任意のモジュール（加群）$M$に対して、以下を満たす任意の（アンカウンタブル（不可算）かもしれない）リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）$B\subseteq M$、つまり、$M$の各要素は$B$のいくつか（ファイナイト（有限）数）の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）である

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3: 注

任意のベクトルたちスペース（空間）はモジュール（加群）であるから、'ベクトルたちスペース（空間）のベーシス（基底）'は、'モジュール（加群）のベーシス（基底）'に他ならない。

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参考資料

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