モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( M\): \(\in \{R \text{ 上方の全てのモジュール（加群）たち }\}\)
\(*B\): \(\subseteq M\), \(\in \{M \text{ の全ての（アンカウンタブル（不可算）かもしれない）リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall p \in M (\exists S \in \{B \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}, \exists r^j \in R (p = \sum_{b_j \in S} r^j b_j))\)
//
\(S\)は\(B\)のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）でなければならない、なぜなら、そうでなければ、\(p = \sum_{b_j \in S} r^j b_j\)は、\(M\)にノルムが備わっていないのに、意味をなさないだろう: インフィニット（無限）シリーズ（級数）のコンバージェンス（収束）の定義はノルムを要求する。
2: 自然言語記述
任意のリング（環）\(R\)、\(R\)上方の任意のモジュール（加群）\(M\)に対して、以下を満たす任意の（アンカウンタブル（不可算）かもしれない）リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）\(B \subseteq M\)、つまり、\(M\)の各要素は\(B\)のいくつか（ファイナイト（有限）数）の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）である
3: 注
任意のベクトルたちスペース（空間）はモジュール（加群）であるから、'ベクトルたちスペース（空間）のベーシス（基底）'は、'モジュール（加群）のベーシス（基底）'に他ならない。
