2022年2月20日日曜日

35: リアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式

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リアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式の記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{R,C}、カノニカル（自然な）フィールド（体）構造を持ったもの
V: ∈{F 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }で任意のインナープロダクト（内積）⟨∙,∙⟩を持ったもの
//

ステートメント（言明）たち:
∀v1,v2∈V(|⟨v1,v2⟩|≤⟨v1,v1⟩⟨v2,v2⟩).
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F∈{R,C}、F上方の任意のベクトルたちスペース（空間）Vで任意のインナープロダクト（内積）を持ったもの⟨∙,∙⟩に対して、各v1,v2∈Vに対して、|⟨v1,v2⟩|≤⟨v1,v1⟩⟨v2,v2⟩。

3: 証明


任意のr∈Fに対して、0≤⟨rv1+v2,rv1+v2⟩=r⟨v1,rv1+v2⟩+⟨v2,rv1+v2⟩=r⟨rv1+v2,v1⟩―+⟨rv1+v2,v2⟩―=rr⟨v1,v1⟩+⟨v2,v1⟩―+r⟨v1,v2⟩+⟨v2,v2⟩―=|r|2⟨v1,v1⟩+r⟨v1,v2⟩+r―⟨v1,v2⟩―+⟨v2,v2⟩。

v1≠0だと仮定しよう。

|r⟨v1,v1⟩+⟨v1,v2⟩―/⟨v1,v1⟩|2−|⟨v1,v2⟩|2/⟨v1,v1⟩+⟨v2,v2⟩=|r|2⟨v1,v1⟩+|⟨v1,v2⟩|2/⟨v1,v1⟩+r⟨v1,v1⟩⟨v1,v2⟩/⟨v1,v1⟩+r―⟨v1,v1⟩⟨v1,v2⟩―/⟨v1,v1⟩−|⟨v1,v2⟩|2/⟨v1,v1⟩+⟨v2,v2⟩=|r|2⟨v1,v1⟩+r⟨v1,v2⟩+r―⟨v1,v2⟩―+⟨v2,v2⟩。

したがって、0≤⟨rv1+v2,rv1+v2⟩=|r⟨v1,v1⟩+⟨v1,v2⟩―/⟨v1,v1⟩|2−|⟨v1,v2⟩|2/⟨v1,v1⟩+⟨v2,v2⟩、そして、それは各rに対して成立するので、0≤−|⟨v1,v2⟩|2/⟨v1,v1⟩+⟨v2,v2⟩、それが含意するのは、|⟨v1,v2⟩|2≤⟨v1,v1⟩⟨v2,v2⟩および|⟨v1,v2⟩|≤⟨v1,v1⟩⟨v2,v2⟩。

v1=0であると仮定しよう。すると、|⟨v1,v2⟩|=|⟨0,v2⟩|=0≤0=⟨0,0⟩⟨v2,v2⟩=⟨v1,v1⟩⟨v2,v2⟩ (⟨0,v2⟩=⟨r0,v2⟩=r⟨0,v2⟩、それが含意するのは、⟨0,v2⟩=0)。

したがって、当該不等式はいずれにせよ成立する。

参考資料
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