リアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式の記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（自然な）フィールド（体）構造を持ったもの
\(V\): \(\in \{F\text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持ったもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v_1, v_2 \in V (\vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert \le \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} \sqrt{\langle v_2, v_2 \rangle})\).
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、\(F\)上方の任意のベクトルたちスペース（空間）\(V\)で任意のインナープロダクト（内積）を持ったもの\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)に対して、各\(v_1, v_2 \in V\)に対して、\(\vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert \le \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} \sqrt{\langle v_2, v_2 \rangle}\)。
3: 証明
任意の\(r \in F\)に対して、\(0 \le \langle r v_1 + v_2, r v_1 + v_2 \rangle = r \langle v_1, r v_1 + v_2 \rangle + \langle v_2, r v_1 + v_2 \rangle = r \overline{\langle r v_1 + v_2, v_1 \rangle} + \overline{\langle r v_1 + v_2, v_2 \rangle} = r \overline{r \langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_2, v_1 \rangle} + \overline{r \langle v_1, v_2 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle} = \vert r \vert^2 \langle v_1, v_1 \rangle + r \langle v_1, v_2 \rangle + \overline{r} \overline{\langle v_1, v_2 \rangle} + \langle v_2, v_2 \rangle\)。
\(v_1 \neq 0\)だと仮定しよう。
\(\vert r \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} + \overline{\langle v_1, v_2 \rangle} / \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} \vert^2 - \vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert^2 / \langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle = \vert r \vert^2 \langle v_1, v_1 \rangle + \vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert^2 / \langle v_1, v_1 \rangle + r \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} \langle v_1, v_2 \rangle / \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} + \overline{r} \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} \overline{\langle v_1, v_2 \rangle} / \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} - \vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert^2 / \langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle = \vert r \vert^2 \langle v_1, v_1 \rangle + r \langle v_1, v_2 \rangle + \overline{r} \overline{\langle v_1, v_2 \rangle} + \langle v_2, v_2 \rangle\)。
したがって、\(0 \le \langle r v_1 + v_2, r v_1 + v_2 \rangle = \vert r \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} + \overline{\langle v_1, v_2 \rangle} / \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} \vert^2 - \vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert^2 / \langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle\)、そして、それは各\(r\)に対して成立するので、\(0 \le - \vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert^2 / \langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle\)、それが含意するのは、\(\vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert^2 \le \langle v_1, v_1 \rangle \langle v_2, v_2 \rangle\)および\(\vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert \le \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} \sqrt{\langle v_2, v_2 \rangle}\)。
\(v_1 = 0\)であると仮定しよう。すると、\(\vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert = \vert \langle 0, v_2 \rangle \vert = 0 \le 0 = \sqrt{\langle 0, 0 \rangle} \sqrt{\langle v_2, v_2 \rangle} = \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} \sqrt{\langle v_2, v_2 \rangle}\) (\(\langle 0, v_2 \rangle = \langle r 0, v_2 \rangle = r \langle 0, v_2 \rangle\)、それが含意するのは、\(\langle 0, v_2 \rangle = 0\))。
したがって、当該不等式はいずれにせよ成立する。
