リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）はノルムを誘導することの記述/証明
話題
About: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のインナープロダクト（内積）はノルムを誘導するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（自然な）フィールド（体）構造を持ったもの
\(V\): \(\in \{F\text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持ったもの
\(\Vert \bullet \Vert\): \(: V \to \mathbb{R}, v \mapsto \sqrt{\langle v, v \rangle}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\Vert \bullet \Vert \in \{V\text{ 上の全てのノルムたち } \}\).
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、\(F\)上方の任意のベクトルたちスペース（空間）\(V\)で任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持ったものに対して、\(\Vert \bullet \Vert: V \to \mathbb{R}, v \mapsto \sqrt{\langle v, v \rangle}\)はノルムである。
3: 証明
任意の\(v_1, v_2 \in V\)および任意の\(r \in F\)に対して、1) \(0 \le \Vert v_1 \Vert = \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle}\)で、等号は\(v_1 = 0\)である場合、そしてその場合に限って成立する; 2) \(\Vert r v_1 \Vert = \sqrt{\langle r v_1, r v_1 \rangle} = \sqrt{r \langle v_1, r v_1 \rangle} = \sqrt{r \overline{\langle r v_1, v_1 \rangle}} = \sqrt{r \overline{r \langle v_1, v_1 \rangle}} = \vert r \vert \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} = \vert r \vert \Vert v_1 \Vert\); 3) \(\Vert v_1 + v_2 \Vert = \sqrt{\langle v_1 + v_2, v_1 + v_2 \rangle} = \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_1, v_2 \rangle + \langle v_2, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle} = \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_1, v_2 \rangle + \overline{\langle v_2, v_1 \rangle} + \langle v_2, v_2 \rangle} \le \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle + 2 \vert \langle v_1, v_2 \rangle \vert + \langle v_2, v_2 \rangle} \le \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle + 2 \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} \sqrt{\langle v_2, v_2 \rangle} + \langle v_2, v_2 \rangle}\)、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、\(= \sqrt{(\sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} + \sqrt{\langle v_2, v_2 \rangle})^2} = \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} + \sqrt{\langle v_2, v_2 \rangle} = \Vert v_1 \Vert + \Vert \Vert v_2 \Vert\)。
