2022年3月6日日曜日

36: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）はノルムを誘導する

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リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）はノルムを誘導することの記述/証明

話題


About: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のインナープロダクト（内積）はノルムを誘導するという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{R,C}、カノニカル（自然な）フィールド（体）構造を持ったもの
V: ∈{F 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }で任意のインナープロダクト（内積）⟨∙,∙⟩を持ったもの
‖∙‖: :V→R,v↦⟨v,v⟩
//

ステートメント（言明）たち:
‖∙‖∈{V 上の全てのノルムたち }.
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F∈{R,C}、F上方の任意のベクトルたちスペース（空間）Vで任意のインナープロダクト（内積）⟨∙,∙⟩を持ったものに対して、‖∙‖:V→R,v↦⟨v,v⟩はノルムである。

3: 証明


任意のv1,v2∈Vおよび任意のr∈Fに対して、1) 0≤‖v1‖=⟨v1,v1⟩で、等号はv1=0である場合、そしてその場合に限って成立する; 2) ‖rv1‖=⟨rv1,rv1⟩=r⟨v1,rv1⟩=r⟨rv1,v1⟩―=rr⟨v1,v1⟩―=|r|⟨v1,v1⟩=|r|‖v1‖; 3) ‖v1+v2‖=⟨v1+v2,v1+v2⟩=⟨v1,v1⟩+⟨v1,v2⟩+⟨v2,v1⟩+⟨v2,v2⟩=⟨v1,v1⟩+⟨v1,v2⟩+⟨v2,v1⟩―+⟨v2,v2⟩≤⟨v1,v1⟩+2|⟨v1,v2⟩|+⟨v2,v2⟩≤⟨v1,v1⟩+2⟨v1,v1⟩⟨v2,v2⟩+⟨v2,v2⟩、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、=(⟨v1,v1⟩+⟨v2,v2⟩)2=⟨v1,v1⟩+⟨v2,v2⟩=‖v1‖+‖‖v2‖。

参考資料
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