リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V\): \(\in \{F \text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*\langle \bullet, \bullet\rangle\): \(: V \times V \to F\)
//
コンディションたち:
\(\forall v_1, v_2, v_3 \in V, \forall r_1, r_2 \in F\)
(
1) \((0 \le \langle v_1, v_1 \rangle)\) \(\land\) \((0 = \langle v_1, v_1 \rangle \iff v_1 = 0)\).
2) \(\langle v_1, v_2 \rangle = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\)、ここで、上線はコンプレックスコンジュゲート（複素共役）を表わす
3) \(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\).
)
//
2: 注
不可避に、\(\langle v_3, r_1 v_1 + r_2 v_2 \rangle = \overline{\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle} = \overline{r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle} = \overline{r_1} \overline{\langle v_1, v_3 \rangle} + \overline{r_2} \overline{\langle v_2, v_3 \rangle} = \overline{r_1} \langle v_3, v_1 \rangle + \overline{r_2} \langle v_3, v_2 \rangle\)。
