34: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）

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リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$、カノニカル（自然な）フィールド（体）構造を持ったもの
$V$: $\in \{F\text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\ast ⟨\bullet ,\bullet ⟩$: $:V\times V\to F$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }{v}_1,v_2,v_3\in V,\mathrm{\forall }{r}_1,r_2\in F$
(
1) $(0\le ⟨v_1,v_1⟩)$ $\wedge$ $(0=⟨v_1,v_1⟩⟺v_1=0)$.
2) $⟨v_1,v_2⟩=\overline{⟨v_2,v_1⟩}$、ここで、オーバーラインはコンプレックスコンジュゲート（複素共役）を表わす。
3) $⟨r_1{v}_1+r_2{v}_2,v_3⟩=r_1⟨v_1,v_3⟩+r_2⟨v_2,v_3⟩$.
)
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$、$F$上方の任意のベクトルたちスペース（空間）$V$に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）$⟨\bullet ,\bullet ⟩:V\times V\to F$、つまり、任意の$v_1,v_2,v_3\in V$および任意の$r_1,r_2\in F$に対して、1) $0\le ⟨v_1,v_1⟩$、ここで、等号は$v_1=0$である場合、そしてその場合に限って成立する; 2) $⟨v_1,v_2⟩=\overline{⟨v_2,v_1⟩}$、ここで、オーバーラインはコンプレックスコンジュゲート（複素共役）を表わす; 3) $⟨r_1{v}_1+r_2{v}_2,v_3⟩=r_1⟨v_1,v_3⟩+r_2⟨v_2,v_3⟩$

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参考資料

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