リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（自然な）フィールド（体）構造を持ったもの
\( V\): \(\in \{F\text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*\langle \bullet, \bullet\rangle\): \(: V \times V \to F\)
//
コンディションたち:
\(\forall v_1, v_2, v_3 \in V, \forall r_1, r_2 \in F\)
(
1) \((0 \le \langle v_1, v_1 \rangle)\) \(\land\) \((0 = \langle v_1, v_1 \rangle \iff v_1 = 0)\).
2) \(\langle v_1, v_2 \rangle = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\)、ここで、オーバーラインはコンプレックスコンジュゲート（複素共役）を表わす。
3) \(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\).
)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、\(F\)上方の任意のベクトルたちスペース（空間）\(V\)に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）\(\langle \bullet, \bullet \rangle: V \times V \to F\)、つまり、任意の\(v_1, v_2, v_3 \in V\)および任意の\(r_1, r_2 \in F\)に対して、1) \(0 \le \langle v_1, v_1 \rangle\)、ここで、等号は\(v_1 = 0\)である場合、そしてその場合に限って成立する; 2) \(\langle v_1, v_2 \rangle = \overline{\langle v_2, v_1 \rangle}\)、ここで、オーバーラインはコンプレックスコンジュゲート（複素共役）を表わす; 3) \(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = r_1 \langle v_1, v_3\rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\)
